Studera kontinuiteten vid x=3. Funktionen f är kontinuerlig vid 3 om gränsvärdet när x närmar sig 3 existerar och är lika med f(3).
B
Studera kontinuiteten vid x=0. Funktionen f är kontinuerlig vid 0 om gränsvärdet när x närmar sig 0 existerar och är lika med g(0).
C
Studera kontinuiteten vid x=1. Funktionen h är kontinuerlig vid 1 om gränsvärdet när x närmar sig 1 existerar och är lika med h(1). Gränsvärdet existerar om de laterala gränsvärdena är lika.
A
Ja, den är kontinuerlig.
B
Ja, den är kontinuerlig.
C
Nej, den är inte kontinuerlig.
Övning ger färdighet
Observera att varje del av funktionen är ett polynom, så de är separat kontinuerliga. Punkten där funktionen kan vara okontinuerlig är där funktionens regel ändras. Detta inträffar vid x=3.
f(x) =
2x, förx≤ 3
6, förx> 3
Funktionen f är kontinuerlig vid 3 om gränsvärdet när x närmar sig 3 existerar och är lika med f(3). Vi börjar med att hitta gränsvärdet. Eftersom vi har en styckvis funktion måste vi studera de laterala gränsvärdena. När vi närmar oss 3 från vänster måste vi använda den första delen av f.
lim _(x→ 3^-) f(x) &= lim _(x→ 3^-) 2x
&= 2( 3)
&= 6
Låt oss sedan studera högergränsvärdet. Den här gången kommer vi att använda den andra delen av f.
lim _(x→ 3^+) f(x) &= lim _(x→ 3^+) 6
&= 6
Vänster- och högergränsvärdena är lika. Därför existerar gränsvärdet och är lika med 6. Nu utvärderar vi f vid 3. Enligt definitionen måste vi använda den första delen av f.
Vi har att f(3) är lika med gränsvärdet för f när x närmar sig 3. Detta innebär att f är kontinuerlig vid x=3. Sammanfattningsvis är funktionen f kontinuerlig.
Den första delen av funktionen är en rationell funktion och den andra är en konstant funktion. Varje del är kontinuerlig. Punkten där funktionen kan vara okontinuerlig är där funktionens regel ändras, vilket inträffar vid x=0.
g(x) =
-5x^2/x, förx≠ 0 [0.5em]
0, förx=0
Funktionen g är kontinuerlig vid 0 om gränsvärdet när x närmar sig 0 existerar och är lika med f(0). Observera att både vänster- och högergränsvärdena involverar den första delen av funktionen. Låt oss använda den för att hitta gränsvärdet.
lim _(x→ 0) g(x) = lim _(x→ 0) (-5x^2/x)
Innan vi utvärderar gränsvärdet, observera att kvoten kan förenklas som -5x. Efter detta kan vi utvärdera gränsvärdet vid x=0.
lim _(x→ 0) (-5x^2/x) &= lim _(x→ 0) -5x
&= -5( 0)
&= 0
Gränsvärdet när x närmar sig 0 är 0. Observera att det är lika med g(0).
lim _(x→ 0) g(x) = 0 = g(0)
Därför är g kontinuerlig vid x=0. Sammanfattningsvis är funktionen g kontinuerlig.
Varje del av funktionen är ett polynom, så de är separat kontinuerliga. Funktionen kan vara okontinuerlig där funktionens regel ändras, vilket inträffar vid x=1.
h(x) =
x^2+1, förx< 1
x, förx≥ 1
Funktionen h är kontinuerlig vid 1 om gränsvärdet när x närmar sig 1 existerar och är lika med h(1). Vi börjar med att hitta gränsvärdet. Eftersom vi har en styckvis funktion måste vi studera de laterala gränsvärdena. När vi närmar oss 1 från vänster måste vi använda den första delen av h.
lim _(x→ 1^-) h(x) &= lim _(x→ 1^-) x^2+1
&= 1^2+1
&= 2
Låt oss sedan studera högergränsvärdet. Den här gången kommer vi att använda den andra delen av h.
lim _(x→ 1^+) h(x) &= lim _(x→ 1^+) x
&= 1
Vänster- och högergränsvärdena är olika. Därför existerar inte gränsvärdet. Eftersom funktionen är definierad vid x=1 men gränsvärdet inte existerar, drar vi slutsatsen att funktionen inte är kontinuerlig.
