Funktionen är kontinuerlig vid x=3 om gränsvärdet när x närmar sig 3 existerar och är lika med f(3). Gränsvärdet existerar om de laterala gränsvärdena är lika.
a=5
Övning ger färdighet
Vi har följande styckvis definierade funktion.
f(x) =
2x-4 förx≤ 3
- x+a förx> 3
Vi vill att funktionen ska vara kontinuerlig vid x=3. Funktionen är kontinuerlig vid x=3 om gränsvärdet när x närmar sig 3 existerar och är lika med f(3). Låt oss först hitta f(3) genom att använda den första delen av funktionen.
Nästa steg är att hitta gränsvärdet för f när x närmar sig 3. Eftersom funktionen ändrar sin regel vid x=3, behöver vi studera de laterala gränsvärdena. Först kommer vi att hitta vänstergränsvärdet. Vi måste använda den första delen av funktionen.
lim _(x→ 3^-) f(x) &= lim _(x→ 3^-) 2x-4
&= 2( 3)-4
&= 2
Vänstergränsvärdet är 2. Nästa steg är att hitta gränsvärdet när x närmar sig 3 från höger. Den här gången måste vi använda den andra delen av funktionen.
lim _(x→ 3^+) f(x) &= lim _(x→ 3^+) - x+a
&= - 3+a
Eftersom vi vill att funktionen ska vara kontinuerlig vid x=3, måste vänster- och högergränsvärdena vara samma. Låt oss sätta likhetstecken mellan det sista uttrycket och 2.
- 3+a = 2
⇓
a = 5
Om a=5, då är funktionen kontinuerlig vid x=3 eftersom gränsvärdet kommer att existera och vara lika med f(3).
lim _(x→ 3) f(x) = f(3)=2
