Den gränsen för en funktion f(x) existerar om både en-sidiga gränser existerar och sammanfaller till samma värde. En funktion f(x) är kontinuerlig vid x=a om gränsen existerar och är lika med f(a).
Ja. Se lösning.
Övning ger färdighet
Vi ges egenskaperna hos en funktion f(x) och vi ombeds avgöra om funktionen är kontinuerlig vid en viss punkt. Låt oss granska den första egenskapen.
lim_(x → 2^-)f(x) = 15
Detta berättar för oss att gränsen för f(x) när x närmar sig 2 från vänster är 15. Nästa egenskap är liknande.
lim_(x → 2^+)f(x) = 15
Detta berättar å andra sidan för oss att gränsen för f(x) när x närmar sig 2 från höger är också 15. Eftersom båda en-sidiga gränser sammanfaller kan vi säga att gränsen existerar och är lika med det givna värdet.
lim_(x → 2)f(x) = 15
Låt oss nu titta på den tredje egenskapen.
f(2) = 15
Detta berättar för oss att värdet av f(x) när x=2 är 15, vilket är samma värde som gränsen vid den punkten. En funktion f(x) är kontinuerlig vid x=a om gränsen existerar och är lika med f(a). Detta är fallet, så vi drar slutsatsen att funktionen är kontinuerlig vid x=a.
