Uppgift 1353 Sida 42

Övning ger färdighet

Gränsvärdet kan inte beräknas genom att sätta in x=4 direkt, eftersom det blir nolldivision. Däremot kan uttrycket förenklas, och kanske kan det förenklas så långt att x=4 kan sättas in.

lim _(x → 4)x-4/x^2-16

WritePow

Skriv som potens

lim _(x → 4)x-4/x^2-4^2

FacDiffSquares

Faktorisera med konjugatregeln

lim _(x → 4)x-4/(x+4)(x-4)

OneMult

1* a=a

lim _(x → 4)1*(x-4)/(x+4)(x-4)

ReduceFrac

Förkorta med (x-4)

lim _(x → 4)1/x+4

x → 4

1/4 + 4

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

1/8

Gränsvärdet är alltså 18.

Observera hacket i kurvan då x=4. Detta eftersom x≠ -4 och x ≠ 4. Alltså funktionen kan inte anta dessa värden då detta hade gett noll i nämnaren vilket är otillåtet. Dock kommer kurvans värde närma sig 18 då x → 4.

Även här kan uttrycket förenklas en del för att förstå gränsvärdet bättre. Vi ser att nämnaren kan faktoriseras, eftersom båda termer innehåller faktorerna 2 och x^2. Vi bryter ut det och ser om det tar oss vidare.

lim _(x → ∞)x-3/2x^3-6x^2+2

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

lim _(x → ∞)x-3/2x^2* x-2x^2* 3+2

FactorOut

Bryt ut 2x^2

lim _(x → ∞)x-3/2x^2(x-3)+2

OneMult

1* a=a

lim _(x → ∞)1* (x-3)/2x^2(x-3)+2

ReduceFrac

Förkorta med (x-3)

lim _(x → ∞)1/2x^2+2

Nu ser det enklare ut. Vad händer med bråket när x går mot oändligheten? Jo, ju större tal man delar på, desto mindre blir kvoten. När x växer kommer kvoten gå mot noll.

lim _(x → ∞)1/2x^2+2

x → ∞

0+2

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

Gränsvärdet är alltså 2.