Använd Pythagoras sats för att hitta sidorna på fyrhörningen.
Rita rätvinkliga trianglar inuti fyrhörningen för att hitta de inre vinklarna.
|AB|=2sqrt(5), |BC| = 2sqrt(5), |CD|=5, och |AD|=5
∠ BCD = 63.5^(∘), ∠ ABD = 63.5^(∘), ∠ ABC = 126.8^(∘), och ∠ CDA = 106.2^(∘)
Övning ger färdighet
Vi har fyra punkter och vi blir ombedda att bestämma längden på varje sida och varje inre vinkel. Låt oss rita upp de givna punkterna!
För att hitta längden på varje sida behöver vi ta reda på skillnaden mellan varje par av punkter. Sedan använder vi Pythagoras sats för att hitta avståndet mellan varje par av punkter.
Δ x
Δ y
sqrt((Δ x)^2+(Δ y)^2)
Förenkla
AB
1-(- 3)=4
3-1 = 2
sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20)
2sqrt(5)
BC
5-1=4
1-3= -2
sqrt(4^2+(-2)^2)=sqrt(20)
2sqrt(5)
CD
1-5=- 4
-2 -1 = - 3
sqrt((-4)^2+(-3)^2)=sqrt(25)
5
AD
1-(-3)= 4
-2 -1 = - 3
sqrt(4^2+(-3)^2)=sqrt(25)
5
Vi har hittat längden på varje sida. Detta är bra framsteg. Innan vi hittar vinklarna bör vi observera att diagonalen BD delar fyrhörningen i 2 liknande trianglar.
Dessa två trianglar är inte rätvinkliga trianglar. Det betyder att vi inte kan använda trigonometriska förhållanden för att hitta vinklarna med dessa trianglar. Det positiva är att vi kan rita rätvinkliga trianglar genom att rita en linje från C och låta den träffa BD i en rät vinkel. Låt oss rita upp dem och ge namn åt vinklarna.
Vi kan se att vi nu har två rätvinkliga trianglar. Vi kan hitta de inre vinklarna i dessa trianglar genom att använda någon av de trigonometriska förhållandena. I det här fallet kommer vi att hitta tangenten för varje vinkel. Sedan kommer vi att använda arctan för att hitta själva vinklarna. Låt oss göra det!
motsatta/närliggande
tan θ
arctan tan θ = θ
b
4/2=2
tan b = 2
arctan 2 ≈ 63.4^(∘)
c_1
2/4=1/2
tan b = 1/2
arctan 1/2 ≈ 26.6^(∘)
c_2
3/4
tan b = 3/4
arctan 3/4 ≈ 36.9^(∘)
d
4/3
tan b = 4/3
arctan 4/3 ≈ 53.1^(∘)
Nu när vi har dessa vinklar kan vi hitta varje vinkel i fyrhörningen. Först är vinkeln ∠ BCD summan av c_1 och c_2.
∠ BCD = 26.6+36.9
⇓
∠ BCD = 63.5^(∘)
Eftersom trianglarna ABD och CBD är likformiga kommer vinklarna att upprepas om vi ritar trianglarna i riktning mot A. På grund av detta är vinklarna ∠ BCD och ∠ DAB lika med varandra.
∠ ABD = ∠ BCD
⇓
∠ ABD = 63.5^(∘)
Dessutom är vinklarna ∠ ABC och ∠ CDA dubbelt så stora som vinklarna b och d, respektive.
∠ ABC = 2b ⇒ ∠ ABC = 126.8^(∘)
och
∠ CDA = 2d ⇒ ∠ CDA = 106.2^(∘)
Låt oss rita figuren med vinklarna!
Vi har lyckats! Vi kan bekräfta att våra vinklar är korrekta genom att addera dem. Eftersom figuren är en fyrhörning måste summan av de inre vinklarna bli 360^(∘).
63.5 + 126.8 + 63.5 + 106.2 = 360^(∘) ✓
