Uppgift 2197 Sida 71

Övning ger färdighet

Det finns två scenarion:

Två av talen är udda och ett är jämnt.
Två av talen är jämna och ett är udda.

Vi behandlar ett scenario i taget.

Scenario 1

Ett godtyckligt udda tal kan skrivas 2n-1, där n är något heltal. Det följande heltalet blir då (2n-1)+1=2n. Eftersom vartannat tal är udda och vartannat jämnt så kommer detta att vara ett jämnt tal. Nästa tal kommer återigen att vara udda, och ges då av 2n+1. Vi lägger nu ihop talen 2n-1, 2n och 2n+1.

(2n-1)+2n+(2n+1)

RemovePar

Ta bort parentes

2n-1+2n+2n+1

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

Oavsett vad n är kommer 6n alltid vara delbart med 3, eftersom det innehåller en faktor 6.

Scenario 2

Ett godtyckligt jämnt tal kan skrivas 2m, där m är ett heltal. Lägger vi till 1 får vi talet 2m+1, som är udda. Lägger vi till 1 igen får vi talet 2m+2, och detta kommer vara jämnt. Vi adderar dessa.

2m+(2m+1)+(2m+2)

RemovePar

Ta bort parentes

2m+2m+1+2m+2

AddTerms

Addera termerna

6m+3

Vi kan bryta ut en faktor 3 ur uttrycket: 6n+3=3(2m+1). Detta uttryck är också alltid delbart med 3, oberoende värdet av m. Vi är klara.

Två godtyckliga udda tal kan skrivas 2n+1 och 2m+1, där n och m är heltal (de behöver inte vara lika). Vi adderar dessa.

(2n+1)+(2m+1)

RemovePar

Ta bort parentes

2n+1+2m+1

AddTerms

Addera termerna

2n+2m+2

Nu kan vi bryta ut en faktor 2 ur uttrycket: 2n+2m+1=2(n+m+1). Ett godtyckligt jämnt tal kan skrivas 2k, där k är ett heltal. Eftersom m och n är heltal kommer summan n+m+1 också att vara ett heltal. Därför måste 2(n+m+1) vara ett jämnt tal, och därmed har vi visat att summan av två udda tal alltid är ett jämnt tal.