Beräkna tiden för halveringen respektive dubbleringen av värdet.
Ja, se lösning.
Övning ger färdighet
Östen påstår att det går snabbare för ett värde som minskar med 10 procent per år att halveras än det tar för ett värde som ökar med 10 procent per år att dubbleras. Vi vill avgöra om han har rätt. Vi beräknar tiden för halveringen och sedan tiden det för dubbleringen för att slutligen jämföra de två tiderna.
Tid för att halvera värdet
Vi vet att värdet förändras procentuellt vilket betyder att förändringen kan beskrivas med en exponentialfunktion. Vi vet också att värdet minskar med 10 procent per år vilket motsvarar förändringsfaktorn 0,9.
y=C* 0,9^x
Vi vill bestämma när ett värde halverats. Vi vet att startvärdet är C, alltså vill vi bestämma när funktionsvärdet är 0,5C. Det betyder att vi vill ta reda på x-värdet för vilket vår funktion är lika med 0,5C.
0,5C=C* 0,9^x ⇓ 0,5=0,9^x
Nu kan vi använda ett grafritande verktyg för att bestämma skärningspunkten mellan linjen y=0,5 och funktionen y=0,9^x.
Vi ser att x≈ 6,6 när y=0,5.
Tid för att dubblera värdet
Den här gången ökar värdet med 10 procent per år vilket motsvarar förändringsfaktorn 1,1.
y=C* 1,1^x
Vi vill bestämma när startvärdet dubblerats, då är funktionsvärdet 2C. Det betyder att vi vill ta reda på för vilket x som vår funktion är lika med 2C.
2C=C* 1,1^x ⇓ 2=1,1^x
Nu kan vi återigen använda ett grafritande verktyg för att bestämma skärningspunkten mellan linjen y=2 och funktionen y=1,1^x.
Vi ser att x≈ 7,3 när y=2.
Jämförelse
Vi kom fram till att det tar ungefär 6,6 år för halveringen av värdet och ungefär 7,3 år för dubbleringen av värdet. Det betyder att Östens påstående stämmer.
