Uppgift 0433 Sida &nbsp; 84

sqrt(x)= t

t^2 -5 t+4=0

▼

Använd pq-formeln: p = -5, q= 4

Använd pq-formeln: p = -5, q= 4

t=- -5/2± sqrt((-5/2)^2- 4)

NegNeg

- (- a)=a

t = 5/2 ± sqrt((- 5/2)^2 -4)

Beräkna kvot

t = 2,5 ± sqrt((-2,5)^2 -4)

NegBaseToPosBase

(- a)^2=a^2

t = 2,5 ± sqrt(2,5^2 -4)

CalcPow

Beräkna potens

t = 2,5 ± sqrt(6,25 -4)

SubTerm

Subtrahera term

t = 2,5 ± sqrt(2,25)

Beräkna rot

t = 2,5 ± 1,5

StateSol

Ange lösningar

lt_1=1 t_2=4

Enligt beräkningen ovan är lösningarna t = 1 och t = 4. Det hjälper oss bara delvis, eftersom vi ville lösa ekvationen för variabeln x. Vi byter alltså tillbaka variabeln.

t = 1

sqrt(x)=t

t= 1

sqrt(x)= 1

VL^2=HL^2

x = 1

Den ena lösningen är alltså x=1.

t = 4

sqrt(x)=t

t= 4

sqrt(x)= 4

VL^2=HL^2

x = 16

Den andra lösningen är x=16 . Till sist så vill vi pröva dessa lösningar för att säkerställa att vi inte har fått några falska rötter.

Prövning

Genom att sätta in lösningarna i ursprungsekvationen kan vi pröva att de faktiskt uppfyller den ursprungliga likheten.

x -5sqrt(x)+4=0

x= 1

1 -5sqrt(1)+4? =0

Beräkna rot

1 -5( 1)+4 ? =0

Neutralelementslagen för multiplikation

1 -5+4 ? =0

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

0 =0 ✓

Den första lösningen stämmer. Låt oss även testa den andra lösningen.

x -5sqrt(x)+4=0

x= 16

16 -5sqrt(16)+4? =0

Beräkna rot

16 -5(4)+4 ? =0

Multiply

Multiplicera faktorer

16 -20+4 ? =0

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

0 =0 ✓

Vi inför variabelsubstitutionen 1sqrt(x) = t. Notera att 1sqrt(x) endast kan anta positiva värden eftersom nämnaren måste vara positiv. Givet likheten 1sqrt(x) = t medför det även att t > 0.

1/x + 1/sqrt(x) = 650

WritePow

Skriv som potens

1^2/x + 1/sqrt(x) = 650

NumberToPowSqrt

a = ( sqrt(a) )^2

1^2/(sqrt(x))^2 + 1/sqrt(x) = 650

QuotPow

a^c/b^c=(a/b)^c

( 1/sqrt(x) )^2 + 1/sqrt(x) = 650

1/sqrt(x)= t

t^2+ t = 650

SubEkv{650

t^2+t-650=0

Vi löser ut t med pq-formeln.

t^2+t-650=0

Använd pq-formeln: p = 1, q= -650

t=- 1/2± sqrt((1/2)^2-( - 650))

▼

Beräkna högerled

Beräkna kvot

t=- 0,5±sqrt(0,5^2 -(- 650))

CalcPow

Beräkna potens

t=-0,5±sqrt(0,25 -(- 650))

SubNeg

a-(- b)=a+b

t=-0,5±sqrt(0,25+650)

AddTerms

Addera termerna

t=-0,5±sqrt(650,25)

Beräkna rot

t=- 0,5± 25,5

t > 0

t=- 0,5+25,5

AddTerms

Addera termerna

t=25

Nu ser vi att t=25 löser ekvationen. Men t var inte variabeln vi började med, så vi byter tillbaka enligt t = 1 sqrt()x.

t=25

t= 2{\dfrac{1}{\sqrt{x}}

1/sqrt(x) = 25

▼

Lös ut x

VL^2=HL^2

(1/sqrt(x))^2 = 625

PowQuot

(a/b)^c=a^c/b^c

1/x = 625

MultEqn

VL * x=HL* x

1 = 6125 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

625 x= 1

DivEqn

.VL /625.=.HL /625.

x = 1/625

Den ursprungliga ekvationen har lösningen x = 1625.

Prövning

Vi prövar lösningen genom att sätta in den i ursprungsekvationen.

1/x + 1/sqrt(x) = 650

x= 1/625

1/.1 /625. + 1/sqrt(.1 /625.) ? = 650

▼

Beräkna vänsterled

SqrtQuot

sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)

1/.1 /625. + 1/.1 /25. ? = 650

DivByFracD

a/b/c= a * c/b

625/1 + 25/1 ? = 650

DivByOne

a/1=a

625 + 25 ? = 650

AddTerms

Addera termerna

650 = 650 ✓

Lösningen är korrekt.

För att lösa denna ekvation inför vi variabeln t. Detta är bara ett namnbyte, som visar att ekvationen kan lösas som andragradsekvationer trots att x^4 finns med. Vi kan se det som en andragradare i en andragradare, och därefter lösa dessa en i taget.

x^4-10x^2+9=0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^(2*2)-10x^2+9=0

ProdInExponent

a^(b* c)=(a^b)^c

(x^2)^2 -10x^2+9=0

x^2= t

t^2-10 t+9=0

▼

Använd pq-formeln: p = -6, q= 5

Använd pq-formeln: p = -6, q= 5

t=- -10/2± sqrt((-10/2)^2- 9)

NegNeg

- (- a)=a

t = \dfrac{10}2 \pm \sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2 -9}

Beräkna kvot

t = 5 ± sqrt((- 5)^2 -9)

CalcPow

Beräkna potens

t = 5 ± sqrt(25 -9)

SubTerm

Subtrahera term

t = 5 ± sqrt(16)

Beräkna rot

t = 5 ± 4

StateSol

Ange lösningar

lt_1 =1 t_2 = 9

Då har vi kommit fram till att t, som alltså bara är ett annat namn för x^2, kan vara antingen 1 eller 5. Detta ger oss två nya ekvationer som kan lösas för att bestämma x.

t = 1

x^2 = t

t= 1

x^2 = 1

SqrtEqn

sqrt(VL)=sqrt(HL)

x = ± 1

t = 9

x^2 = t

t= 3

x^2 = 9

SqrtEqn

sqrt(VL)=sqrt(HL)

x = ± 3

Till sist så vill vi pröva lösningarna i ursprungsekvationen. 1^4-6( 1)^2+5 ? =0 &⇔ 0=0 ✓ ( -1)^4-6( -1)^2+5 ? =0 &⇔ 0=0 ✓ 3^4-6( 3)^2+5 ? =0 &⇔ 0=0 ✓ ( - 3)^4-6( -3)^2+5 ? =0 &⇔ 0=0 ✓ Samtliga lösningar är korrekta.

Vi inför variabelsubstitutionen x^(1/3) = t.

x^(2/3)-5x^(1/3)+6=0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^(1 3*2)-5x^(1/3)+6=0

ProdInExponent

a^(b* c)=(a^b)^c

(x^(1/3))^2-5x^(1/3)+6=0

x^(1/3)= t

t^2-5 t+6=0

Vi löser ut t med pq-formeln.

t^2-5t+6=0

Använd pq-formeln: p = -5, q= 6

t=- -5/2± sqrt((-5/2)^2- 6)

▼

Beräkna högerled

NegNeg

- (- a)=a

t=5/2±sqrt((-5/2)^2-6)

PowQuot

(a/b)^c=a^c/b^c

t=5/2±sqrt(25/4-6)

NumberToFrac

a = 6* a/6

t=5/2±sqrt(25/4-24/4)

SubFrac

Subtrahera bråk

t=5/2±sqrt(1/4)

SqrtQuot

sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)

t=5/2± 1/2

AddSubFrac

Lägg ihop bråk

t=5± 1/2

StateSol

Ange lösningar

lt=.4 /2. t=.6 /2.

Beräkna kvot

lt_1=2 t_2=3

t=2 och t=3 löser ekvationen. Vi likställer lösningarna med variabeln vi bytte ut för att ange ursprungsekvationens lösningar.

t = 2

t= x^(1/3)

x^(1/3) = 2

VL^3=HL^3

x= 8

Ekvationens första lösning är x=8.

t = 3

t= x^(1/3)

x^(1/3) =3

VL^3=HL^3

x= 27

Ekvationens andra lösning är x=27. Till sist så prövar vi lösningarna för att säkerställa att vi inte fått några falska rötter. 8^(2/3)-5( 8)^(1/3)+6=0 &⇔ 0 =0 ✓ 27^(2/3)-5( 27)^(1/3)+6=0 &⇔ 0 =0 ✓ Båda lösningarna är korrekta.

Vi börjar lösningen genom att kvadrera bort det översta rottecknet i vänsterledet och förenklar.

sqrt(sqrt(x)+5)=sqrt(x)-1