Härnäst måste vi faktorisera täljaren. Notera att faktorn (x-4) i nämnaren skvallrar om hur vi kan faktorisera täljaren. Sannolikt så kommer faktoriseringen av täljaren att ge en faktor som matchar (x-4) i nämnaren. Vi kan alltså skriva följande ekvation.
(x-4)(x-b)=x^2-2x-8
Om vi utvecklar vänsterledet kan vi identifiera vad b ska vara.
x^2-bx-4x+4b=x^2-2x-8
Nu kan vi identifiera att 4b och -8 båda visar konstanterna. Detta betyder att vi kan likställda dem och lösa ut b.
Nu kan vi skriva ekvationens faktorform.
(x-4)(x-( -2))=x^2-2x-8
⇓
(x-4)(x+2)=x^2-2x-8
När vi faktoriserat täljaren ersätter vi täljaren med dess faktorform, förkortar gemensamma faktorer och beräknar gränsvärdet.
Återigen, så måste vi faktorisera täljaren och nämnaren. För att göra detta noterar vi att ett andragradspolynom med rötterna x=a och x = b kan skrivas på faktorformen (x-a)(x-b). Låt oss visa hur detta kan skrivas på utvecklad form.
(x-a)(x-b)
⇓
x^2-bx-ax+ab
⇓
x^2-(a+b)_(Koefficient till x-term)x+ab ← konstant
Som vi kan se är konstanten produkten av polynomets rötter och koefficienten till x-termen är negativa summan av nollställena. Nu kan vi börja faktorisera.
x^2+4x-5
x-termen har en koefficient på 4 och konstanten är -5. Eftersom konstanten är negativ måste ett nollställe vara negativt och ett måste vara positivt. Med denna information kan vi undersöka vilka värden på a och b som gör att konstanten blir -5 och samtidigt så att negativa summan av nollställena blir 4x.
|c|c|c|c|
[-1em]
Konstant & ab & a+b & - (a+b)x [0.2em]
[-1em]
- 5 & -1* 5 & -1 +5 & -4x * [0.1em]
- 5 & -5* 1 & -5 +1 & 4x ✓
Då vet vi att när a=-5 och b=1 så faktoriseras polynomet.
x^2+4x-5
⇓
(x-(-5))(x-1)
⇓
(x+5)(x-1)
x^2-4x+3
Vi ser att x-termen har en koefficient på - 4 och konstanten är 3. Eftersom konstanten är positiv måste båda nollställen vara negativa eller så är de båda positiva.
|c|c|c|c|
[-1em]
Konstant & ab & a+b & - (a+b)x [0.2em]
[-1em]
3& 1* 3 & 1+3 & - 4x ✓ [0.1em]
Nu ser vi att när a=1 och b=3 så har vi faktoriserat polynomet.
x^2-4x+3
⇓
(x-1)(x-3)
Beräkna gränsvärdet
När vi har faktoriserat polynomen så kan vi återgå till att beräkna gränsvärdet.
Notera att i det här fallet så går x mot oändligheten. När vi har ett sådant gränsvärde ska vi bryta ut den största möjliga x-faktorn i både täljaren och nämnaren, i det här fallet x^2, och därefter förkorta. Detta skriver om gränsvärdet på en form som blir enklare att utvärdera när vi låter x gå mot oändligheten.
Om vi nu låter x gå mot oändligheten så kommer bråken i täljaren och nämnaren att gå mot noll. Detta eftersom x befinner sig i nämnaren och om man delar ett tal med oändligheten så blir kvoten obefintlig, dvs. den går mot noll.
Precis som i deluppgift c) så ska vi beräkna gränsvärdet när x går mot oändligheten. Då måste vi bryta ut största möjliga x ur både täljare och nämnare och sedan förkorta bort detta x. När vi låter x gå mot oändligheten så försvinner alla bråk med x i nämnaren.
