Uppgift 1476 Sida 59

Låt oss börja med att rita kurvan till y = x^2-3x i ett koordinatsystem. I samma koordinatsystem ritar vi även y=x, dvs. linjen y=x+a där a satts till 0.

Vi noterar att linjen utgör redan sekant till kurvan. Men vi vill veta för vilka värden på a som linjen alltid utgör sekant till kurvan, dvs. graferna skär varandra två gånger. Vi kan lösa detta algebraiskt genom att likställa funktionerna, lösa ut x, och därefter analysera lösningen. x^2-3x=x+a Låt oss förenkla denna ekvation något.

x^2-3x=x+a

SubEqn

VL-x=HL-x

x^2-4x=a

Genom att lösa ut x i denna ekvation skapar vi ett uttryck för de x-värden då de två funktionerna skär varandra. Vi kan lösa för x genom att exempelvis kvadratkomplettera.

x^2-4x=a

CompleteSquare

Kvadratkomplettera: p= -4

x^2-4x+(-4/2)^2=a+(-4/2)^2

▼

Lös ut x

CalcQuot

Beräkna kvot

x^2-4x+(-2)^2=a+(-2)^2

NegBaseToPosBase

(- a)^2=a^2

x^2-4x+2^2=a+2^2

CalcPow

Beräkna potens

x^2-4x+2^2=a+4

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^2-2* x* 2+2^2=a+4

FacNegPerfectSquare

Faktorisera med andra kvadreringsregeln

(x-2)^2=a+4

SqrtEqn

sqrt(VL)=sqrt(HL)

x-2=± sqrt(a+4)

AddEqn

VL+2=HL+2

x=2± sqrt(a+4)

Notera att en kvadratrot är enbart definierad för icke-negativa argument. Om argumentet är noll har vi endast en lösning vilket betyder att linjen skulle tangera kurvan. Om a+4 är positiv så har ekvationen två lösningar vilket gör att linjen utgör en sekant till kurvan. Vi vill alltså bestämma när argumentet är större än noll.

a+4>0

SubIneq

VL-4>HL-4

a>-4

Nu ser vi att så länge a är större än -4 så utgör linjen en sekant till kurvan.