Uppgift 1448 Sida 53

Övning ger färdighet

Vi bestämmer en cylinders volym genom att multiplicera höjden med π och radien i kvadrat. V=hπ r^2 Genom att sätta in x istället för radien och (3-x) istället för höjden kan vi skapa ett funktionsuttryck för volymen V(x) som beror av radien x.

V(r)=hπ r^2

SubstituteII

r= x och h= 3-x

V( x)=( 3-x)π x^2

Kommutativa lagen för multiplikation

V(x)=π x^2(3-x)

För att rita grafen behöver vi känna till ett par punkter som grafen går igenom. Från funktionsuttrycket ser vi att grafen har två nollställen, ett i x=0 och ett annat i x=3. Detta ger oss två datapunkter, en i origo och en i (3,0). Låt oss beräkna ett par till funktionsvärden med hjälp av en värdetabell.

x	π x^2(3-x)	V(x)
0	π ( 0)^2(3- 0)	0
0.5	π ( 0.5)^2(3- 0.5)	1.96
1	π ( 1)^2(3- 1)	6.28
1.5	π ( 1.5)^2(3- 1.5)	10.6
2	π ( 2)^2(3- 2)	12.56
2.5	π ( 2.5)^2(3- 2.5)	9.817
3	π ( 3)^2(3- 3)	0

Nu kan vi rita funktionen.

Definitonsmängd

Observera att vi kan bortse från alla x-värden där x är icke-positivt. Vi kan även bortse från icke positiva funktionsvärden. Om x inte är positivt så har vi ingen cylinder. Är volymen noll har vi heller ingen cylinder och att volymen är negativ är inte realistiskt. Med denna information kan vi ta bort bort den del av grafen i deluppgift c) där detta gäller.

Som vi kan se så kan radien anta alla värden mellan 0 och 3. Vi får följande definitionsmängd.

Värdemängd

Värdemängden är de möjliga y-värden som grafen kan anta. Vi vet redan att y måste vara större än 0 för att det ska bildas någon cylinder överhuvudtaget. Från grafen ser vi att det största värdet på x antas när x=2.