{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Algebra och icke-linjära ekvationer

Välj kurs
Matte 2c
Algebra och icke-linjära ekvationer
Logaritmlagar

Logaritmlagar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Regel

Logaritmlagar

Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kallas logaritmlagar och gäller för alla logaritmer, oavsett bas.

Regel
lg⁡(ab)=b⋅lg⁡(a)\lg\left(a^b\right)=b\cdot\lg(a)
Regel

Logaritmen av en potens

Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.

lg⁡(74)\lg\left(7^4\right)
a=10lg⁡(a)a=10^{\lg(a)}
lg⁡((10lg⁡7)4)\lg\left(\left(10^{\lg 7}\right)^4\right)
(ab)c=ab⋅c \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}
lg⁡(10lg⁡(7)⋅4)\lg\left(10^{\lg(7)\cdot4}\right)
lg⁡(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
lg⁡(7)⋅4\lg(7)\cdot4
Omarrangera faktorer
4⋅lg⁡(7)4 \cdot \lg(7)
Regeln gäller endast för positiva aa och reella b.b.

Regel
lg⁡(ab)=lg⁡(a)+lg⁡(b)\lg(ab)=\lg(a)+\lg(b)
Regel

Logaritmen av en produkt

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna. Man kan visa det genom att skriva om faktorerna som potenser och sedan använda potenslagen för multiplikation.

lg⁡(3⋅2)\lg(3\cdot2)
a=10lg⁡(a)a=10^{\lg(a)}
lg⁡(10lg⁡(3)⋅10lg⁡(2))\lg\left(10^{\lg(3)}\cdot 10^{\lg(2)}\right)
ab⋅ac=ab+c a^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}
lg⁡(10lg⁡(3)+lg⁡(2))\lg\left(10^{\lg(3)+\lg(2)}\right)
lg⁡(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
lg⁡(3)+lg⁡(2)\lg(3)+\lg(2)
Regeln gäller endast för positiva aa och b.b.

Regel
lg⁡(ab)=lg⁡(a)−lg⁡(b)\lg\left(\dfrac{a}{b}\right)=\lg(a)-\lg(b)
Regel

Logaritmen av en kvot

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen av logaritmerna av täljaren och nämnaren. Detta kan visas genom att skriva om täljaren och nämnaren som potenser och använda potenslagen för division.

lg⁡(73)\lg\left(\dfrac{7}{3}\right)
a=10lg⁡(a)a=10^{\lg(a)}
lg⁡(10lg⁡(7)10lg⁡(3))\lg\left(\dfrac{10^{\lg(7)}}{10^{\lg(3)}}\right)
abac=ab−c \dfrac{a^b}{a^c}= a^{b-c}
lg⁡(10lg⁡(7)−lg⁡(3))\lg\left(10^{\lg(7)-\lg(3)}\right)
lg⁡(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
lg⁡(7)−lg⁡(3)\lg(7)-\lg(3)
Regeln gäller för endast för positiva aa och b.b.
Regel

Specialfall av tiologaritmer

Regel
lg⁡(10)=1\lg(10)=1
Regel

Tiologaritmen av 10

Tiologaritmen av 1010 är 11 eftersom lg⁡(10)\lg(10) är det tal man ska höja upp 1010 till för att det ska bli 1010:

101=10⇔lg⁡(10)=1. 10^1=10 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(10)=1.

Regel
lg⁡(1)=0\lg(1)=0
Regel

Tiologaritmen av 1

Tiologaritmen av 11 är 00 eftersom lg⁡(1)\lg(1) är det tal man ska höja upp 1010 till för att det ska bli 11. Alla tal (förutom 00) upphöjt till 00 är 11 och därför är

100=1⇔lg⁡(1)=0. 10^0=1 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(1)=0.
Uppgift

Beräkna utan räknare: lg⁡(2000)+lg⁡(5)lg⁡(102). \dfrac{\lg(2000)+\lg(5)}{\lg\left(10^2\right)}.

Lösning

Vi börjar med att förenkla täljaren. Det är en summa av logaritmer så vi kan skriva om den genom att multiplicera argumenten.

lg⁡(2000)+lg⁡(5)lg⁡(102)\dfrac{\lg(2000)+\lg(5)}{\lg\left(10^2\right)}
lg⁡(a)+lg⁡(b)=lg⁡(ab)\lg(a) + \lg(b)=\lg(ab)
lg⁡(2000⋅5)lg⁡(102)\dfrac{\lg(2000\cdot 5)}{\lg\left(10^2\right)}
Multiplicera faktorer
lg⁡(10000)lg⁡(102)\dfrac{\lg(10\,000)}{\lg\left(10^2\right)}

Talet 1000010\,000 kan skrivas som 10410^4, vilket innebär tiologaritmen av det är 4.4. Nämnaren kan man också förenkla eftersom argumentet där redan är en tiopotens.

lg⁡(10000)lg⁡(102)\dfrac{\lg(10\,000)}{\lg\left(10^2\right)}
Beräkna logaritm
4lg⁡(102)\dfrac{4}{\lg\left(10^2\right)}
lg⁡(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
42\dfrac{4}{2}
Beräkna kvot
22

Uttrycket värde är alltså 2.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vad ska stå istället för xx för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare.lg⁡(32)=xlg⁡(2) \lg(32)=x\lg(2)

Lösning
Varken lg⁡(32)\lg(32) eller lg⁡(2)\lg(2) går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om lg⁡(32)\lg(32) som "någonting" gånger lg⁡(2)\lg(2) kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om 3232 som 252^5 och använder därefter logaritmlagen för potenser.
lg⁡(32)=xlg⁡(2)\lg(32)=x \lg(2)
Skriv som potens
lg⁡(25)=xlg⁡(2)\lg(2^5)=x \lg(2)
lg⁡(ab)=b⋅lg⁡(a)\lg\left(a^b\right)= b\cdot\lg(a)
5⋅lg⁡(2)=xlg⁡(2)5 \cdot \lg(2)=x \lg(2)
VLundefinedlg⁡(2)=HLundefinedlg⁡(2)\left.\text{VL}\middle/\lg(2)\right.=\left.\text{HL}\middle/\lg(2)\right.
5=x5 = x
Omarrangera ekvation
x=5x = 5

Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret x=5.x=5.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}