Logaritmlagar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Logaritmlagar

Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kallas logaritmlagar och gäller för alla logaritmer, oavsett bas.

Regel

lg(ab)=blg(a)\lg\left(a^b\right)=b\cdot\lg(a)
Regel

Logaritmen av en potens

Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.

lg(74)\lg\left(7^4\right)
lg((10lg7)4)\lg\left(\left(10^{\lg 7}\right)^4\right)
lg(10lg(7)4)\lg\left(10^{\lg(7)\cdot4}\right)
lg(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
lg(7)4\lg(7)\cdot4
4lg(7)4 \cdot \lg(7)
Regeln gäller endast för positiva aa och reella b.b.

Regel

lg(ab)=lg(a)+lg(b)\lg(ab)=\lg(a)+\lg(b)
Regel

Logaritmen av en produkt

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna. Man kan visa det genom att skriva om faktorerna som potenser och sedan använda potenslagen för multiplikation.

lg(32)\lg(3\cdot2)
lg(10lg(3)10lg(2))\lg\left(10^{\lg(3)}\cdot 10^{\lg(2)}\right)
lg(10lg(3)+lg(2))\lg\left(10^{\lg(3)+\lg(2)}\right)
lg(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
lg(3)+lg(2)\lg(3)+\lg(2)
Regeln gäller endast för positiva aa och b.b.

Regel

lg(ab)=lg(a)lg(b)\lg\left(\dfrac{a}{b}\right)=\lg(a)-\lg(b)
Regel

Logaritmen av en kvot

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen av logaritmerna av täljaren och nämnaren. Detta kan visas genom att skriva om täljaren och nämnaren som potenser och använda potenslagen för division.

lg(73)\lg\left(\dfrac{7}{3}\right)
lg(10lg(7)10lg(3))\lg\left(\dfrac{10^{\lg(7)}}{10^{\lg(3)}}\right)
lg(10lg(7)lg(3))\lg\left(10^{\lg(7)-\lg(3)}\right)
lg(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
lg(7)lg(3)\lg(7)-\lg(3)
Regeln gäller för endast för positiva aa och b.b.
Regel

Specialfall av tiologaritmer

Regel

lg(10)=1\lg(10)=1
Regel

Tiologaritmen av 10

Tiologaritmen av 1010 är 11 eftersom lg(10)\lg(10) är det tal man ska höja upp 1010 till för att det ska bli 1010:

101=10lg(10)=1. 10^1=10 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(10)=1.

Regel

lg(1)=0\lg(1)=0
Regel

Tiologaritmen av 1

Tiologaritmen av 11 är 00 eftersom lg(1)\lg(1) är det tal man ska höja upp 1010 till för att det ska bli 11. Alla tal (förutom 00) upphöjt till 00 är 11 och därför är

100=1lg(1)=0. 10^0=1 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(1)=0.
Uppgift

Beräkna utan räknare: lg(2000)+lg(5)lg(102). \dfrac{\lg(2000)+\lg(5)}{\lg\left(10^2\right)}.

Lösning

Vi börjar med att förenkla täljaren. Det är en summa av logaritmer så vi kan skriva om den genom att multiplicera argumenten.

lg(2000)+lg(5)lg(102)\dfrac{\lg(2000)+\lg(5)}{\lg\left(10^2\right)}
lg(20005)lg(102)\dfrac{\lg(2000\cdot 5)}{\lg\left(10^2\right)}
lg(10000)lg(102)\dfrac{\lg(10\,000)}{\lg\left(10^2\right)}

Talet 1000010\,000 kan skrivas som 10410^4, vilket innebär tiologaritmen av det är 4.4. Nämnaren kan man också förenkla eftersom argumentet där redan är en tiopotens.

lg(10000)lg(102)\dfrac{\lg(10\,000)}{\lg\left(10^2\right)}
4lg(102)\dfrac{4}{\lg\left(10^2\right)}
lg(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
42\dfrac{4}{2}
22

Uttrycket värde är alltså 2.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vad ska stå istället för xx för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare.lg(32)=xlg(2) \lg(32)=x\lg(2)

Lösning
Varken lg(32)\lg(32) eller lg(2)\lg(2) går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om lg(32)\lg(32) som "någonting" gånger lg(2)\lg(2) kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om 3232 som 252^5 och använder därefter logaritmlagen för potenser.
lg(32)=xlg(2)\lg(32)=x \lg(2)
lg(25)=xlg(2)\lg(2^5)=x \lg(2)
5lg(2)=xlg(2)5 \cdot \lg(2)=x \lg(2)
5=x5 = x
x=5x = 5

Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret x=5.x=5.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv på formen blg(a).b\cdot\lg(a).


a

lg(52)\lg\left(5^2\right)

b

lg(113)\lg\left(11^3\right)

c

lg(49)\lg(49)

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som en tiologaritm av ett heltal.


a

2lg(3)2\lg(3)

b

5lg(2)5\lg(2)

c

lg(9)2\dfrac{\lg(9)}{2}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en enda logaritm.


a

lg(5)+lg(6)\lg(5)+\lg(6)

b

lg(2)+lg(3)+lg(4)\lg(2)+\lg(3)+\lg(4)

c

lg(5)+lg(5)+lg(5)\lg(5)+\lg(5)+\lg(5)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en enda logaritm.


a

lg(18)lg(6)\lg(18)-\lg(6)

b

lg(12)lg(9)\lg(12)-\lg(9)

c

lg(32)lg(2)lg(4)\lg(32)-\lg(2)-\lg(4)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Beräkna lg(1010)\lg(10\cdot 10) med hjälp av logaritmlagen lg(ab)=lg(a)+lg(b)\lg(ab)=\lg(a) + \lg(b).

b

Beräkna lg(1010)\lg(10\cdot 10) med hjälp av logaritmlagen lg(ab)=blg(a)\lg\left(a^b\right)= b\cdot\lg(a).

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

lg(x)lg(4)=lg(16)\lg(x)-\lg(4)=\lg(16)

b

lg(15)=lg(3)+lg(x)\lg(15)=\lg(3)+\lg(x)

c

lg(18)=lg(3)lg(x)+lg(6)\lg(18)=\lg(3)-\lg(x)+\lg(6)

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

lg(x)=lg(10)+lg(5)\lg(x) = \lg(10) + \lg(5)

b

lg(3x)=lg(60)lg(5)\lg(3x) = \lg(60) - \lg(5)

c

lg(x)=4lg(2)\lg\left(x\right) = 4\lg(2)

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

lg(300)=lg(x)+lg(3)\lg(300)=\lg(x)+\lg(3)

b

lg(7)lg(x)=lg(14)\lg(7)-\lg(x)=\lg(14)

c

3lg(x)=lg(8)3\lg(x)=\lg(8)

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som logaritmen av en potens.

a

zlg(y)z\cdot\lg(y)

b

xlg(10)lg(z)x\cdot\lg(10)\cdot\lg(z)

c

xlg(lg(100))x\cdot\lg(\lg(100))

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

lg(4x)=lg(2)+lg(8)\lg(4x)=\lg(2)+\lg(8)

b

lg(2x3)=lg(6)lg(3)\lg\left(\dfrac{2x}{3}\right)=\lg(6)-\lg(3)

c

2lg(3)=lg(2x)2\lg(3)=\lg(2x)

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna utan räknare.

a

xlg(6)=lg(36)x \cdot \lg(6)=\lg(36)

b

lg(5)2x=lg(125)\lg(5)\cdot 2x=\lg(125)

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt som möjligt utan räknare.


a

lg(80)lg(8)lg(1000)\lg(80)-\lg(8)-\lg (1000)

b

lg(3)+lg(3)+lg(3)lg(2.7)\lg (3)+\lg(3)+\lg(3)-\lg(2.7)

c

lg(4-1)+lg(42)+lg(250)\lg\left(4^{\text{-} 1}\right)+\lg\left(4^{ 2}\right)+\lg\left(250\right)

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda logaritm utan att använda räknare.


a

lg(2)+lg(9)lg(6)\lg(2)+\lg(9)-\lg(6)

b

4lg(3)lg(9)4\lg(3)-\lg(9)

c

lg(100)lg(5)+lg(4)+lg(8)\lg(100) \cdot \lg(5)+\lg(4)+ \lg(8)

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa på två olika sätt att lg(83)+lg(8-3)=0.\lg\left(8^{3}\right)+\lg\left(8^{\text{-}3}\right)=0.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken utan att använda räknare.


a

lg(73)+lg(37)\lg\left(\dfrac{7}{3}\right)+\lg\left(\dfrac{3}{7}\right)

b

log3(9)+log4(64)\log_3(9)+\log_4(64)

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Svetlanas mamma hjälper henne med matteläxan och påstår att lg(0)=1.\lg(0)=1. Svetlana känner sig dock tveksam till detta. Har Svetlanas mamma rätt, och hur kan hon ha tänkt?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

lg(9)+x=lg(90)\lg(9)+x=\lg(90)

b

lg(3x)=lg(3)5\lg\left(\dfrac{3}{x}\right)=\lg(3)-5

c

2lg(x)+lg(3)=lg(12)2\lg(x)+\lg(3)=\lg(12)

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

lg(x2)=lg(6)+lg(4)\lg\left(\dfrac{x}{2}\right) = \lg(6) + \lg(4)

b

lg(3)=lg(12)lg(3x)\lg(3) = \lg(12) - \lg(3x)

c

4lg(x)=lg(32)lg(2)4\lg(x) = \lg(32) - \lg(2)

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvation: lg(x)+lg(16)=2 \lg(x)+\lg\left(\dfrac{1}{6}\right)=2.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen. lg(12)lg(100)=lg(x) \lg(12)\cdot \lg(100)=\lg(x)

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Leonard och Sheldon har löst samma ekvation på två olika sätt och fått olika svar. Leonard har fått svaret x=3x=3 och Sheldon fick x=2.x=2.

Uppg1079 1.svg

Vem har gjort rätt, och vad har den andra gjort för fel?

2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om logaritmen som en differens eller summa av ett heltal och en logaritmterm med det givna argumentet.


a

lg(1003)\lg\left(\dfrac{100}{3}\right), argument: 33

b

lg(5300.01)\lg\left(\dfrac{530}{0.01}\right), argument: 5353

c

lg(800),\lg(800), argument: 22

2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett närmevärde till lg(16)\lg(16) är 1.21.2. Använd detta för att utan räknare bestämma ett närmevärde till


a

lg(160).\lg(160).

b

lg(4).\lg(4).

2.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a

2lg(x)0.5lg(x2)2\lg(x)-0.5\lg\left(x^2\right)

b

(xyy)2y-2(xy-y)^2\cdot y^{\text{-} 2}

Nationella provet VT12 2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att lg(x)=lg(x)2.\lg\left( \sqrt{x} \right) = \dfrac{\lg(x)}{2}.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Karl-Albin har löst en logaritmekvation.

Exercise1082 1.svg

Men när han prövar sina rötter visar det sig att x=-5x=\text{-}5 inte löser ursprungsekvationen. Varifrån kommer denna falska rot?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa följande likheter.

a

lg(1xy)=-ylg(x)\lg\left(\dfrac{1}{x^y}\right)=\text{-} y\lg(x)

b

lg(x)+lg(x)+...+lg(x)y st.=lg(xy)\underbrace{\lg(x)+\lg(x)+...+\lg(x)}_{y \text{ st.}}=\lg\left(x^y\right)

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa logaritmlagen lg(xy)=ylg(x).\lg\left(x^y\right)=y\lg(x).

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ut xx ur följande samband.


a

p+lg(x)=qp+\lg(x)=q

b

rt=lg(xu)hr-t=\dfrac{\lg\left(x^u\right)}{h}

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande utan räknare.


a

9log3(4)9^{\log_3(4)}

b

36log6(72)36^{\log_{6}\left(\sqrt{72}\right)}

c

4log16(25)4^{\log_{16}\left(25\right)}

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör utan räknare vad bb ska vara för att logb(102)+logb(98) \log_{b}(102)+\log_{b}(98) ska bli 1?1?

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a

(x+3)2(x+3)2\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-(x+3)}{2}

b

lgxlg(x2)2lgx2\dfrac{\lg\sqrt{x}\cdot \lg\left(\frac{x}{2}\right)^2}{\lg\frac{x}{2}}

Nationella provet VT15 2c
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken bas bb gör att likheten stämmer? logb(132)=-52. \log_b\left(\dfrac{1}{32}\right)=\text{-} \dfrac{5}{2}.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}