Logaritmer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Logaritm

En logaritm av ett tal anger den exponent man måste upphöja logaritmens bas till för att få tillbaka talet. Logaritmen av ett positivt tal aa skrivs som nedan, där bb anger vilken bas som används. Detta utläses som bb-logaritmen av a.a.

logb(a)\log_{b}(a)

Exempelvis är log4(16)=2,\log_{4}(16)=2, eftersom 22 är den exponent man ska upphöja basen 44 till för att få resultatet 16.16. Logaritmen är inte definierad för negativa a.a.
Begrepp

Tiologaritm

En tiologaritm är en logaritm som använder basen 1010. T.ex. är log10(1000)\log_{10}(1000) lika med 3310310^3 är lika med 1000.1000.

Samband mellan bas och exponent för tiologaritmer och potenser

Tiologaritmen kan skrivas log10(),\log_{10}(), men eftersom den används ofta har den fått en egen notation, lg().\lg(). Det är den logaritm de flesta räknare använder när man trycker på log\log. För ett positivt tal aa skrivs definitionen av en tiologaritm som nedan.

a=10bb=lg(a)a=10^b \quad \Leftrightarrow \quad b=\lg(a)

Uppgift

Bestäm värdena på logaritmerna utan räknare: lg(10000)lg(100)lg(1)lg(0.001). \lg(10\,000) \quad \lg(100) \quad \lg(1) \quad \lg(0.001).

Lösning

lg\lg är tiologaritmen, så lg(10000)\lg(10\,000) är alltså det tal man ska höja upp 1010 till för att få 10000.10\,000. Eftersom 1000010\,000 är lika med 10410^4 ärlg(10000)=lg(104)=4. \lg(10\,000)=\lg\left(10^{\color{#0000FF}{4}}\right)={\color{#0000FF}{4}}. Tänker vi på samma sätt för övriga logaritmer får vi följande. Kom ihåg att alla tal (förutom 00) upphöjt till 00 är 1.1.

lg(10000)\lg(10\,000) == lg(104)\lg\left(10^{\color{#0000FF}{4}}\right) == 4{\color{#0000FF}{4}}
lg(100)\lg{(100)} == lg(102)\lg\left(10^{\color{#0000FF}{2}}\right) == 2{\color{#0000FF}{2}}
lg(1)\lg(1) == lg(100)\lg\left(10^{\color{#0000FF}{0}}\right) == 0{\color{#0000FF}{0}}
lg(0.001)\lg(0.001) == lg(10-3)\lg\left(10^{{\color{#0000FF}{\text{-} 3}}}\right) == -3{\color{#0000FF}{\text{-} 3}}

Vi ser att vi även kan bestämma tiologaritmerna genom att räkna nollor, så länge vi tar logaritmen av ett tal som består av en etta följt med ett antal nollor före eller efter. Talet 1000010\,000 har 44 nollor, 100100 har 22 nollor, 11 har 00 nollor och 0.0010.001 har 33 nollor och är ett tal mindre än 1,1, så då får vi komma ihåg att det ska bli -3.\text{-} 3.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Para ihop tiologaritmerna med de avrundade värdena utan att använda räknare. Det finns fler värden än logaritmer. lg(900)lg(100)lg(0.01)lg(0.25) \lg{(900)} \quad \lg{(100)} \quad \lg{(0.01)} \quad \lg{(0.25)} -5-3.57-2-0.6000.3022.953 \text{-}5 \quad \text{-} 3.57 \quad \text{-}2 \quad \text{-}0.60 \quad 0 \quad 0.30 \quad 2 \quad 2.95 \quad 3

Lösning

Börja med de logaritmer som är av exakta tiopotenser, alltså lg(100)\lg{(100)} och lg(0.01).\lg{(0.01)}. De kan skrivas som lg(102)\lg{\left(10^2\right)} respektive lg(10-2),\lg{\left(10^{\text{-} 2}\right)}, vilka kan bestämmas exakt. Logaritmen av en tiopotens är exponenten, vilket ger lg(100)=2ochlg(0.01)=-2. \lg{(100)} = 2 \quad \text{och} \quad \lg{(0.01)}=\text{-} 2. Övriga logaritmer kan vi inte bestämma exakt, men baserat på de tiopotenser de ligger mellan kan vi avgöra vilket värde som passar ihop med dem. Talet 900 ligger mellan 100 och 1000. Alltså måste lg(900)\lg{(900)} vara större än lg(100)=2\lg{(100)}=2 och mindre än lg(1000)=3,\lg{(1000)}=3, så det enda värdet logaritmen kan passa ihop med är 2.95.2.95.lg(900)2.95 \lg{(900)} \approx 2.95 På motsvarande sätt ligger lg(0.25)\lg{(0.25)} mellan lg(0.1)=lg(10-1)=-1\lg{(0.1)}=\lg{\left(10^{\text{-}1}\right)}=\text{-}1 och lg(1)=0,\lg{(1)}=0, vilket innebär att den måste passa ihop med värdet -0.60.\text{-}0.60.lg(0.25)-0.60 \lg{(0.25)} \approx \text{-}0.60

Nu har vi parat ihop alla logaritmer med rätt värden, med följande resultat.

lg(900)\lg{(900)} lg(100)\lg{(100)} lg(0.25)\lg{(0.25)} lg(0.01)\lg{(0.01)}
2.95\sim 2.95 22 -0.60\sim \text{-}0.60 -2\text{-} 2
Visa lösning Visa lösning
Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.

Digitala verktyg

Tiologaritmer

På räknaren kan man beräkna tiologaritmen av ett tal genom att trycka på LOG.

Tiologaritm på TI-räknare

Det man sedan skriver in är argumentet till logaritmen, alltså det som räknaren kommer att beräkna logaritmen av. Om man ska utföra fler räkneoperationer efter logaritmen är det viktigt att komma ihåg att avsluta argumentet med en högerparentes, vilket skrivs genom att trycka på knappen ).

Tiologaritmer på TI-räknare
Regel

Grundläggande samband för tiologaritmer

Ur definitionen av logaritmer får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "tiologaritmen av" och "tio upphöjt till" tar ut varandra.

Regel

10lg(a)=a10^{\lg(a)}=a
Sitter en logaritm, lg(a),\lg\left(a\right), som exponent på 1010 kan man direkt bestämma tiopotensens värde genom att läsa av logaritmens argument, dvs. a.a.


Samband mellan tiopotenser och tiologaritmer
Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja 10 till som ger noll eller ett negativt resultat. Denna identitet gäller alltså endast när a>0.a > 0.

Regel

lg(10a)=a\lg\left(10^a\right)=a
Tiologaritmer använder basen 10.10. Exempelvis är lg(100)=2\lg(100)=2 eftersom man ska upphöja 1010 med 22 för att få 100.100. Logaritmerar man en tiopotens blir resultatet exponenten i tiopotensen. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en tiologaritm.
Samband mellan tiologaritmer och tiopotenser
Uppgift

Skriv talet 1414 både som en potens med basen 1010 och som en tiologaritm.

Lösning

Vi ska skriva 1414 på formen 10a.10^a. Vad ska aa vara? Det är det tal man ska höja upp 1010 till för att få 14.14. Det är ju, enligt definitionen av logaritmer, lg(14)\lg(14) så därför är 14=10lg(14). 14=10^{\lg(14)}. Nu ska vi skriva 1414 som en tiologaritm. Det betyder att den ska stå på formen lg(a).\lg(a). Vad ska aa vara? Om vi tar tiologaritmen av 101410^{14} får vi den exponent som 1010 ska upphöjas till för att få 1014,10^{14}, dvs. vi får tillbaka exponenten 1414: 14=lg(1014). 14=\lg\left(10^{14}\right). Vi kan även i båda fallen tänka att "lg\lg" och "1010 upphöjt till" tar ut varandra.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tiopotenser utan räknare.

a

10lg(100)10^{\lg(100)}

b

10lg(72)10^{\lg(72)}

c

10lg(1.3)10^{\lg(1.3)}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck utan räknare.


a

10lg(5)10^{\lg(5)}

b

10lg(63)+10lg(2)10^{\lg(63)}+10^{\lg(2)}

c

10lg(6)10lg(3)10^{\lg(6)}\cdot10^{\lg(3)}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av logaritmerna utan att använda räknare.


a

lg(1078) \lg\left(10^{78}\right)

b

lg(10-36) \lg\left(10^{\text{-} 36}\right)

c

lg(11000) \lg\left(\dfrac 1 {1000}\right)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av logaritmerna utan räknare.


a

lg(102)\lg\left(10^2\right)

b

lg(0.0001)\lg\left(0.0001\right)

c

lg(0.1)\lg(0.1)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av logaritmerna utan räknare.


a

lg(1000)\lg\left(1000\right)

b

lg(105)\lg\left(10^5\right)

c

lg(1)\lg\left(1\right)

d

lg(1100)\lg\left(\dfrac{1}{100}\right)

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna med räknare och avrunda till 22 decimaler.


a

lg(400)\lg{(400)}

b

lg(5)+8\lg{(5)}+8

c

4lg(87)4\lg{(87)}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna med räknare och avrunda till 22 decimaler.

a

lg(897463)\lg{(897 \cdot 463)}

b

lg(900)9\dfrac{\lg{(900)}}{9}

c

lg(80)lg(20)\dfrac{\lg{(80)}}{\lg{(20)}}

d

lg(1200)lg(300)\dfrac{\lg{(1200)}}{\lg{(300)}}

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv talen som potenser med basen 10.10.


a

10001000

b

1717

c

0.40.4

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som tiologaritmer.


a

11

b

66

c

-3\text{-}3

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På tallinjen finns sex punkter A – F.

Exercise1033 1.svg

Varje tal nedan motsvaras av en markerad punkt på tallinjen. 99052-11012lg(90) 99^0 \quad \sqrt{5} \quad 2^{\text{-}1} \quad 10^{\frac{1}{2}} \quad \lg(90) Para ihop vart och ett av talen med en punkt på tallinjen. Du får inte använda räknare.

Nationella provet VT15 2b/2c
1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedanstående graf visar y=lg(x).y=\lg(x).


a

Bestäm värdet av lg(100)\lg(100) med hjälp av grafen.

b

Uppskatta värdet av lg(250)\lg(250) med hjälp av grafen.

c

Uppskatta vilken tiologaritm som ger värdet 1.81.8.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttrycken utan räknare.


a

10lg(9)10lg(3)\dfrac{10^{\lg(9)}}{10^{\lg(3)}}

b

10lg(4)+lg(3)10^{\lg(4)+\lg(3)}

c

10 -lg(2)10^{\ \text{-}\lg(2)}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är lg(9)\lg(9) större eller mindre än 1?1? Motivera ditt svar utan att använda räknare.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Erik slår in lg(-2)\lg(\text{-}2) på räknaren men får ett felmeddelande. Förklara varför.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna logaritmerna utan att använda räknare.


a

log4(4)\log_4(4)

b

log3(9)\log_3(9)

c

log2(16)\log_2(16)

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm logaritmerna utan att använda räknare.


a

log2(8)\log_2(8)

b

log6(36)\log_6(36)

c

log9(9)\log_9(9)

d

log4(64)\log_4(64)

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket heltal approximerar log3(79)\log_3(79) bäst? Svara utan att använda räknare.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Beräkna följande tiologaritmer med din räknare: lg(500)+lg(2)lg(250)+lg(4)lg(200)+lg(5).\begin{aligned} &\lg{(500)}+\lg{(2)} \\ &\lg{(250)}+\lg{(4)} \\ &\lg{(200)}+\lg{(5)}. \end{aligned}

b

Alla tre summor kan skrivas som en och samma tiologaritm. Vilken?

c

Kan du skriva om lg(a)+lg(b)\lg{(a)}+\lg{(b)} som en logaritm?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I människans magsäck produceras magsyra, som bl.a. hjälper till att bryta ner maten. Magsyran innehåller främst vätejoner (H+^+) och kloridjoner (Cl-^{\text{-}}). Aktiviteten av vätejoner i en lösning beskrivs av det logaritmiska måttet pH. Enkelt sagt berättar pH-värdet hur sur en lösning är, och ju lägre värde desto surare lösning. pH-värdet beräknas med formeln pH=-lg([H+]mol/dm3), \text{pH}=\text{-}\lg\left(\dfrac{[\text{H}^+]}{\text{mol/dm}^3}\right), där [H+^+] är aktiviteten av vätejoner i lösningen och mol/dm3^3 är koncentrationens enhet. Denna enhet divideras bort i formeln för att pH-värdet bara anges som ett tal. Beräkna pH-värdet i magsyra om aktiviteten av vätejoner är 0.020.02 mol/dm3^3. Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv lg(10yx)\lg{\left(\sqrt[x]{10^y} \, \right)} som ett bråk.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm följande logaritmer utan räknare.


a

lg(lg(1010))\lg\left(\lg \left(10^{10}\right)\right)

b

log3(log2(8))\log_3\left(\log_2\left(8\right)\right)

c

log5(log4(250))\log_5\left(\log_4\left(2^{50}\right)\right)

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi vet att log3(12)2.26 \log_{3}(12) \approx 2.26 . Använd denna identitet för att uppskatta värdet av log3(16) \log_{3}(16) .

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna beskriver tre olika funktioner på formen y=logb(x)y=\log_b(x) med heltalsbaser bb som ligger i intervallet 2b82 \leq b \leq 8. Använd grafen för att lista ut baserna.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket log3(9)log4(16)log5(25).\log_3(9)\log_4(16)\log_5(25).

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}