Logaritmer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Logaritm

En logaritm av ett tal anger den exponent man måste upphöja logaritmens bas till för att få tillbaka talet. Logaritmen av ett positivt tal aa skrivs som nedan, där bb anger vilken bas som används. Detta utläses som bb-logaritmen av a.a.

logb(a)\log_{b}(a)

Exempelvis är log4(16)=2,\log_{4}(16)=2, eftersom 22 är den exponent man ska upphöja basen 44 till för att få resultatet 16.16. Logaritmen är inte definierad för negativa a.a.
Begrepp

Tiologaritm

En tiologaritm är en logaritm som använder basen 1010. T.ex. är log10(1000)\log_{10}(1000) lika med 3310310^3 är lika med 1000.1000.

Samband mellan bas och exponent för tiologaritmer och potenser

Tiologaritmen kan skrivas log10(),\log_{10}(), men eftersom den används ofta har den fått en egen notation, lg().\lg(). Det är den logaritm de flesta räknare använder när man trycker på log\log. För ett positivt tal aa skrivs definitionen av en tiologaritm som nedan.

a=10bb=lg(a)a=10^b \quad \Leftrightarrow \quad b=\lg(a)

Uppgift

Bestäm värdena på logaritmerna utan räknare: lg(10000)lg(100)lg(1)lg(0.001). \lg(10\,000) \quad \lg(100) \quad \lg(1) \quad \lg(0.001).

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Para ihop tiologaritmerna med de avrundade värdena utan att använda räknare. Det finns fler värden än logaritmer. lg(900)lg(100)lg(0.01)lg(0.25) \lg{(900)} \quad \lg{(100)} \quad \lg{(0.01)} \quad \lg{(0.25)} -5-3.57-2-0.6000.3022.953 \text{-}5 \quad \text{-} 3.57 \quad \text{-}2 \quad \text{-}0.60 \quad 0 \quad 0.30 \quad 2 \quad 2.95 \quad 3

Visa lösning Visa lösning
Regel

Grundläggande samband för tiologaritmer

Ur definitionen av logaritmer får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "tiologaritmen av" och "tio upphöjt till" tar ut varandra.

Regel

10lg(a)=a10^{\lg(a)}=a

Regel

lg(10a)=a\lg\left(10^a\right)=a
Uppgift

Skriv talet 1414 både som en potens med basen 1010 och som en tiologaritm.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tiopotenser utan räknare.

a

10lg(100)10^{\lg(100)}

b

10lg(72)10^{\lg(72)}

c

10lg(1.3)10^{\lg(1.3)}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck utan räknare.


a

10lg(5)10^{\lg(5)}

b

10lg(63)+10lg(2)10^{\lg(63)}+10^{\lg(2)}

c

10lg(6)10lg(3)10^{\lg(6)}\cdot10^{\lg(3)}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av logaritmerna utan att använda räknare.


a

lg(1078) \lg\left(10^{78}\right)

b

lg(10-36) \lg\left(10^{\text{-} 36}\right)

c

lg(11000) \lg\left(\dfrac 1 {1000}\right)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av logaritmerna utan räknare.


a

lg(102)\lg\left(10^2\right)

b

lg(0.0001)\lg\left(0.0001\right)

c

lg(0.1)\lg(0.1)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av logaritmerna utan räknare.


a

lg(1000)\lg\left(1000\right)

b

lg(105)\lg\left(10^5\right)

c

lg(1)\lg\left(1\right)

d

lg(1100)\lg\left(\dfrac{1}{100}\right)

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna med räknare och avrunda till 22 decimaler.


a

lg(400)\lg{(400)}

b

lg(5)+8\lg{(5)}+8

c

4lg(87)4\lg{(87)}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna med räknare och avrunda till 22 decimaler.

a

lg(897463)\lg{(897 \cdot 463)}

b

lg(900)9\dfrac{\lg{(900)}}{9}

c

lg(80)lg(20)\dfrac{\lg{(80)}}{\lg{(20)}}

d

lg(1200)lg(300)\dfrac{\lg{(1200)}}{\lg{(300)}}

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv talen som potenser med basen 10.10.


a

10001000

b

1717

c

0.40.4

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som tiologaritmer.


a

11

b

66

c

-3\text{-}3

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På tallinjen finns sex punkter A – F.

Exercise1033 1.svg

Varje tal nedan motsvaras av en markerad punkt på tallinjen. 99052-11012lg(90) 99^0 \quad \sqrt{5} \quad 2^{\text{-}1} \quad 10^{\frac{1}{2}} \quad \lg(90) Para ihop vart och ett av talen med en punkt på tallinjen. Du får inte använda räknare.

Nationella provet VT15 2b/2c
1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedanstående graf visar y=lg(x).y=\lg(x).


a

Bestäm värdet av lg(100)\lg(100) med hjälp av grafen.

b

Uppskatta värdet av lg(250)\lg(250) med hjälp av grafen.

c

Uppskatta vilken tiologaritm som ger värdet 1.81.8.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttrycken utan räknare.


a

10lg(9)10lg(3)\dfrac{10^{\lg(9)}}{10^{\lg(3)}}

b

10lg(4)+lg(3)10^{\lg(4)+\lg(3)}

c

10 -lg(2)10^{\ \text{-}\lg(2)}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är lg(9)\lg(9) större eller mindre än 1?1? Motivera ditt svar utan att använda räknare.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Erik slår in lg(-2)\lg(\text{-}2) på räknaren men får ett felmeddelande. Förklara varför.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna logaritmerna utan att använda räknare.


a

log4(4)\log_4(4)

b

log3(9)\log_3(9)

c

log2(16)\log_2(16)

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm logaritmerna utan att använda räknare.


a

log2(8)\log_2(8)

b

log6(36)\log_6(36)

c

log9(9)\log_9(9)

d

log4(64)\log_4(64)

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket heltal approximerar log3(79)\log_3(79) bäst? Svara utan att använda räknare.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Beräkna följande tiologaritmer med din räknare: lg(500)+lg(2)lg(250)+lg(4)lg(200)+lg(5).\begin{aligned} &\lg{(500)}+\lg{(2)} \\ &\lg{(250)}+\lg{(4)} \\ &\lg{(200)}+\lg{(5)}. \end{aligned}

b

Alla tre summor kan skrivas som en och samma tiologaritm. Vilken?

c

Kan du skriva om lg(a)+lg(b)\lg{(a)}+\lg{(b)} som en logaritm?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I människans magsäck produceras magsyra, som bl.a. hjälper till att bryta ner maten. Magsyran innehåller främst vätejoner (H+^+) och kloridjoner (Cl-^{\text{-}}). Aktiviteten av vätejoner i en lösning beskrivs av det logaritmiska måttet pH. Enkelt sagt berättar pH-värdet hur sur en lösning är, och ju lägre värde desto surare lösning. pH-värdet beräknas med formeln pH=-lg([H+]mol/dm3), \text{pH}=\text{-}\lg\left(\dfrac{[\text{H}^+]}{\text{mol/dm}^3}\right), där [H+^+] är aktiviteten av vätejoner i lösningen och mol/dm3^3 är koncentrationens enhet. Denna enhet divideras bort i formeln för att pH-värdet bara anges som ett tal. Beräkna pH-värdet i magsyra om aktiviteten av vätejoner är 0.020.02 mol/dm3^3. Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv lg(10yx)\lg{\left(\sqrt[x]{10^y} \, \right)} som ett bråk.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm följande logaritmer utan räknare.


a

lg(lg(1010))\lg\left(\lg \left(10^{10}\right)\right)

b

log3(log2(8))\log_3\left(\log_2\left(8\right)\right)

c

log5(log4(250))\log_5\left(\log_4\left(2^{50}\right)\right)

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi vet att log3(12)2.26 \log_{3}(12) \approx 2.26 . Använd denna identitet för att uppskatta värdet av log3(16) \log_{3}(16) .

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna beskriver tre olika funktioner på formen y=logb(x)y=\log_b(x) med heltalsbaser bb som ligger i intervallet 2b82 \leq b \leq 8. Använd grafen för att lista ut baserna.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket log3(9)log4(16)log5(25).\log_3(9)\log_4(16)\log_5(25).

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}