Logaritmer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Logaritm

En logaritm av ett tal anger den exponent man måste upphöja logaritmens bas till för att få tillbaka talet. Logaritmen av ett positivt tal aa skrivs som nedan, där bb anger vilken bas som används. Detta utläses som bb-logaritmen av a.a.

logb(a)\log_{b}(a)

Exempelvis är log4(16)=2,\log_{4}(16)=2, eftersom 22 är den exponent man ska upphöja basen 44 till för att få resultatet 16.16. Logaritmen är inte definierad för negativa a.a.
Begrepp

Tiologaritm

En tiologaritm är en logaritm som använder basen 1010. T.ex. är log10(1000)\log_{10}(1000) lika med 3310310^3 är lika med 1000.1000.

Samband mellan bas och exponent för tiologaritmer och potenser

Tiologaritmen kan skrivas log10(),\log_{10}(), men eftersom den används ofta har den fått en egen notation, lg().\lg(). Det är den logaritm de flesta räknare använder när man trycker på log\log. För ett positivt tal aa skrivs definitionen av en tiologaritm som nedan.

a=10bb=lg(a)a=10^b \quad \Leftrightarrow \quad b=\lg(a)

Uppgift

Bestäm värdena på logaritmerna utan räknare: lg(10000)lg(100)lg(1)lg(0.001). \lg(10\,000) \quad \lg(100) \quad \lg(1) \quad \lg(0.001).

Lösning

lg\lg är tiologaritmen, så lg(10000)\lg(10\,000) är alltså det tal man ska höja upp 1010 till för att få 10000.10\,000. Eftersom 1000010\,000 är lika med 10410^4 ärlg(10000)=lg(104)=4. \lg(10\,000)=\lg\left(10^{\color{#0000FF}{4}}\right)={\color{#0000FF}{4}}. Tänker vi på samma sätt för övriga logaritmer får vi följande. Kom ihåg att alla tal (förutom 00) upphöjt till 00 är 1.1.

lg(10000)\lg(10\,000) == lg(104)\lg\left(10^{\color{#0000FF}{4}}\right) == 4{\color{#0000FF}{4}}
lg(100)\lg{(100)} == lg(102)\lg\left(10^{\color{#0000FF}{2}}\right) == 2{\color{#0000FF}{2}}
lg(1)\lg(1) == lg(100)\lg\left(10^{\color{#0000FF}{0}}\right) == 0{\color{#0000FF}{0}}
lg(0.001)\lg(0.001) == lg(10-3)\lg\left(10^{{\color{#0000FF}{\text{-} 3}}}\right) == -3{\color{#0000FF}{\text{-} 3}}

Vi ser att vi även kan bestämma tiologaritmerna genom att räkna nollor, så länge vi tar logaritmen av ett tal som består av en etta följt med ett antal nollor före eller efter. Talet 1000010\,000 har 44 nollor, 100100 har 22 nollor, 11 har 00 nollor och 0.0010.001 har 33 nollor och är ett tal mindre än 1,1, så då får vi komma ihåg att det ska bli -3.\text{-} 3.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Para ihop tiologaritmerna med de avrundade värdena utan att använda räknare. Det finns fler värden än logaritmer. lg(900)lg(100)lg(0.01)lg(0.25) \lg{(900)} \quad \lg{(100)} \quad \lg{(0.01)} \quad \lg{(0.25)} -5-3.57-2-0.6000.3022.953 \text{-}5 \quad \text{-} 3.57 \quad \text{-}2 \quad \text{-}0.60 \quad 0 \quad 0.30 \quad 2 \quad 2.95 \quad 3

Lösning

Börja med de logaritmer som är av exakta tiopotenser, alltså lg(100)\lg{(100)} och lg(0.01).\lg{(0.01)}. De kan skrivas som lg(102)\lg{\left(10^2\right)} respektive lg(10-2),\lg{\left(10^{\text{-} 2}\right)}, vilka kan bestämmas exakt. Logaritmen av en tiopotens är exponenten, vilket ger lg(100)=2ochlg(0.01)=-2. \lg{(100)} = 2 \quad \text{och} \quad \lg{(0.01)}=\text{-} 2. Övriga logaritmer kan vi inte bestämma exakt, men baserat på de tiopotenser de ligger mellan kan vi avgöra vilket värde som passar ihop med dem. Talet 900 ligger mellan 100 och 1000. Alltså måste lg(900)\lg{(900)} vara större än lg(100)=2\lg{(100)}=2 och mindre än lg(1000)=3,\lg{(1000)}=3, så det enda värdet logaritmen kan passa ihop med är 2.95.2.95.lg(900)2.95 \lg{(900)} \approx 2.95 På motsvarande sätt ligger lg(0.25)\lg{(0.25)} mellan lg(0.1)=lg(10-1)=-1\lg{(0.1)}=\lg{\left(10^{\text{-}1}\right)}=\text{-}1 och lg(1)=0,\lg{(1)}=0, vilket innebär att den måste passa ihop med värdet -0.60.\text{-}0.60.lg(0.25)-0.60 \lg{(0.25)} \approx \text{-}0.60

Nu har vi parat ihop alla logaritmer med rätt värden, med följande resultat.

lg(900)\lg{(900)} lg(100)\lg{(100)} lg(0.25)\lg{(0.25)} lg(0.01)\lg{(0.01)}
2.95\sim 2.95 22 -0.60\sim \text{-}0.60 -2\text{-} 2
Visa lösning Visa lösning
Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.

Digitala verktyg

Tiologaritmer

På räknaren kan man beräkna tiologaritmen av ett tal genom att trycka på LOG.

Tiologaritm på TI-räknare

Det man sedan skriver in är argumentet till logaritmen, alltså det som räknaren kommer att beräkna logaritmen av. Om man ska utföra fler räkneoperationer efter logaritmen är det viktigt att komma ihåg att avsluta argumentet med en högerparentes, vilket skrivs genom att trycka på knappen ).

Tiologaritmer på TI-räknare
Regel

Grundläggande samband för tiologaritmer

Ur definitionen av logaritmer får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "tiologaritmen av" och "tio upphöjt till" tar ut varandra.

Regel

10lg(a)=a10^{\lg(a)}=a
Sitter en logaritm, lg(a),\lg\left(a\right), som exponent på 1010 kan man direkt bestämma tiopotensens värde genom att läsa av logaritmens argument, dvs. a.a.


Samband mellan tiopotenser och tiologaritmer
Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja 10 till som ger noll eller ett negativt resultat. Denna identitet gäller alltså endast när a>0.a > 0.

Regel

lg(10a)=a\lg\left(10^a\right)=a
Tiologaritmer använder basen 10.10. Exempelvis är lg(100)=2\lg(100)=2 eftersom man ska upphöja 1010 med 22 för att få 100.100. Logaritmerar man en tiopotens blir resultatet exponenten i tiopotensen. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en tiologaritm.
Samband mellan tiologaritmer och tiopotenser
Uppgift

Skriv talet 1414 både som en potens med basen 1010 och som en tiologaritm.

Lösning

Vi ska skriva 1414 på formen 10a.10^a. Vad ska aa vara? Det är det tal man ska höja upp 1010 till för att få 14.14. Det är ju, enligt definitionen av logaritmer, lg(14)\lg(14) så därför är 14=10lg(14). 14=10^{\lg(14)}. Nu ska vi skriva 1414 som en tiologaritm. Det betyder att den ska stå på formen lg(a).\lg(a). Vad ska aa vara? Om vi tar tiologaritmen av 101410^{14} får vi den exponent som 1010 ska upphöjas till för att få 1014,10^{14}, dvs. vi får tillbaka exponenten 1414: 14=lg(1014). 14=\lg\left(10^{14}\right). Vi kan även i båda fallen tänka att "lg\lg" och "1010 upphöjt till" tar ut varandra.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}