Linjära och exponentiella förändringar

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är $7.90$ kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera $7.90$ med antalet hg. Om vikten i hg är $x$ ska man betala $7.90 \cdot x \ \ \text{kronor.}$ Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

Ett proportionellt samband ger alltid $0$ om man sätter in $0.$ Men om man t.ex. måste betala $2$ kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset: $7.90x + 2 \ \ \text{kronor}.$

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in $10\,000$ kr på ett konto med $5\,\%$ ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn $1.05,$ kommer det efter ett år att finnas $10\,000 \cdot 1.05 = 10\,500 \; \text{kr.}$ Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare $5\,\%$ nästa år, vilket gör att det kommer att finnas $\underbrace{10\,000 \cdot 1.05}_{10\,500}\cdot 1.05 = 10\,500 \cdot 1.05 = 11\,025 \; \text{kr}.$ Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med $500$ kr första året och $525$ kr andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter $t$ år kan beskrivas av $s(t) = 10\,000 \cdot 1.05^t,$