Dashboard

Årskurs 9 Visa detaljer

4. Linjära funktioner Åk 9

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 9 /

Kapitel 2

Linjära funktioner Åk 9

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	11 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 11

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Värdetabell
Beroende variabel
Oberoende variabel
Linjära funktion
Räta linjens ekvation
k -värde
m -värde
Stegmetod

Förkunskaper

Introduktion till funktioner

Teori

Linjära funktioner

En formel är ett uttryck som beskriver ett samband mellan olika storheter med hjälp av symboler. Ett exempel är formeln för rektangelns area, som är A = b * h.

En funktion kan beskrivas med en formel, till exempel y = 3x - 2. I den här formeln kan vi sätta in olika värden på x och beräkna motsvarande värden på y.

Om vi sätter x = 1, så får vi y = 3 * 1 - 2 = 1.

Värdetabell

Eftersom vi kan sätta in oändligt många värden på x, finns det också oändligt många värden på y.

För att bättre förstå sambanden mellan x och y kan vi skapa en värdetabell.

x	0	1	2	3
y	-2	1	4	7

Rita en linjär funktion

Om vi prickar in punkterna i ett koordinatsystem ser vi att de ligger på en rät linje.

Vi kan rita grafen genom att dra en linje genom punkterna. För att rita grafen räcker det med två punkter, men tre punkter ger större säkerhet.

Eftersom det egentligen finns oändligt många punkter fortsätter vi linjen åt båda håll.

Varje punkt på linjen ger ett x-värde och motsvarande y-värde för funktionen.

Beroende och oberoende variabel

En funktion, som till exempel y = 3x - 2, beskriver matematiskt hur variabeln y beror av variabeln x. Vi kallar y för beroende variabel och x för oberoende variabel.

Linjär funktion och dess ekvation

En funktion, vars graf är en rät linje, kallas en linjär funktion.

Formeln för linjära funktioner kallas ofta för räta linjens ekvation och skrivs

y = kx + m

I formeln är k och m konstanter, det vill säga bestämda tal.

Exempel

Köpa chokladkakor i affären

Noel vill köpa lite godis i affären. Varje chokladkaka kostar 15 kronor. Låt x representera antalet chokladkakor som köps och y det totala priset som Noel måste betala. Noel gör följande tabell.

x	y
0	0
1	15
2	30
3	45
4	60
5	75

Rita en graf som representerar denna funktion. Är detta en linjär funktion?

Rita grafen i den första kvadranten, eftersom alla värden är positiva. Placera antalet chokladkakor på x-axeln och det totala priset på y-axeln.

Du kan plotta punkterna i ett koordinatsystem: (0, 0), (1, 15), (2, 30) (3, 45), (4, 60) och (5, 75).

När du kopplar ihop punkterna ser du att de ligger på en rak linje.

Svar: Ja, det är en linjär funktion.

Teori

k-värdet

När vi studerar linjer i ett koordinatsystem, ser vi att de kan ha olika lutningar. Men vad bestämmer egentligen hur en linje lutar? Svaret är k-värdet.

Samma k-värde

Låt oss rita upp y = 3x + 4, y = 3x + 1 och y = 3x -2 i samma koordinatsystem och se vad som händer!

Vi märker att de är parallella, det vill säga de har samma lutning. Alla dessa linjer har k-värdet 3.

Detta visar att k-värdet avgör hur en linje lutar, eller i vilken riktning den sträcker sig. Vi kallar k-värdet för linjens riktningskoefficient.

Olika k-värden

Låt oss titta på ett nytt exempel där vi ritar upp de fyra linjerna y = - x + 2, y = 2x - 1, y = 4x + 3 och y = - 3x - 2 i samma koordinatsystem.

Vi ser att ju högre k-värdet är, desto mer lutar linjen. Till exempel har den röda linjen k-värdet 2 och lutar uppåt, medan den blå linjen har k-värdet 4 och lutar ännu mer uppåt.

Men vad händer när k-värdet är negativt? Den gröna linjen, y = -3x - 2, har k-värdet - 3. Vi ser att den lutar nedåt.

När en linje lutar ned åt höger säger man att den är fallande, och när den lutar upp åt höger är den stigande.

Teori

m-värdet

I ett koordinatsystem kan linjer se olika ut. En sak som beskriver en linje är m-värdet.

Samma m-värde

Låt oss rita tre linjer i samma koordinatsystem: y=x-2 , y=3x-2 och y=- 2x-2.

Vi märker att alla linjerna går genom samma punkt, nämligen (0,- 2). Detta beror på att alla funktionerna har m-värdet - 2.

Det innebär att m-värdet för en linjär funktion motsvarar y-värdet i linjens skärningspunkt med y-axeln, alltså när x = 0. Det betyder att om vi sätter x = 0 i funktionen, får vi y = m.

Till exempel, om vi tar den blå linjen y = 3x - 2 och sätter x = 0, får vi y = 3(0) - 2 = - 2.

Exempel

Att bestämma k- och m-värdet för en linje

a Vad är k- och m-värdet för linjen y = 5x-8?

y = 5x - 8

k = 5 och m=- 8

En linjär funktion kan skrivas som y = kx + m, där k är konstanten framför x och m är konstanten.

Svar: k = 5 och m=- 8

b Vad är k- och m-värdet för linjen y = -7-x?

y = - 1x - 7

k = - 1 och m=- 7

Om du skriver om funktionen som y = - 1x - 7, ser du att k-värdet är - 1 och m-värdet är - 7.

Svar: k = - 1 och m=- 7

Övning

Identifera linjära funktioners egenskaper

Interaktiv graf som visar en graf eller uttryck.

Teori

Bestämma räta linjens ekvation från graf

När vi tittar på en graf för en funktion kanske vi undrar vilken funktion som representeras.

Vi ser att grafen är en rät linje, så vi kan använda formeln för linjära funktioner.

y = kx + m

Vi kan bestämma funktionen genom att följa dessa tre steg.

Bestäm m-värdet

Vi ser att linjen skär y-axeln vid y = -1, vilket innebär att m = -1.

Bestäm k-värdet

För att ta reda på k-värdet kan vi använda stegmetoden.

Vi väljer en punkt på linjen, till exempel (0,-1). Om vi går ett steg åt höger från denna punkt måste vi gå två steg ner för att nå linjen igen.

Det betyder att när x-koordinaten ökar med 1, minskar y-koordinaten med 2. Med hjälp av detta kan vi räkna ut k-värdet:

k = förändringen iy-led/förändringen ix-led = -2/1 = - 2

Skriv funktionen

Sätt in k=-2 och m=-1 i formeln y = kx + m.

y = -2x - 1

Vi kan också säga att det är linjens ekvation.

Exempel

Jämförelse av linjära funktioner

Två linjära funktioner ska jämföras.

Funktion I: y=3x+5

Funktion II:

Är funktionerna parallella?

Första linjen:

y = 3x + 5

Bestäm först lutningen (k-värdet) för varje linje.

k = 3

I formen y = kx + m är koefficienten framför x lutningen.

Andra linjen:

När x ökar med 1 ökar y med 2

Lutningen kan läsas av genom att se hur mycket linjen stiger per steg i x.

k = 2/1 = 2

Ett steg åt höger, två steg upp betyder lutningen 2.

3 ≠ 2

Om lutningarna skiljer sig åt är linjerna inte parallella.

Svar: Nej, linjerna är inte parallella.

Exempel

Identifiering av funktionen

Vilken funktion är det?

Två tydliga punkter gör det enkelt att beräkna lutningen. Lutningen beskriver hur mycket y förändras när x ökar.

k = - 1/2 = - 1/2

Eftersom y minskar när x ökar får linjen en negativ lutning.

Linjen skär y-axeln vid - 4. Därför är m = - 4.

Skärningen med y-axeln ger m-värdet i en linjär funktion.

y = - 1/2x - 4

Använd formeln för linjära funktioner: y = kx+m.

Svar: y = - 1/2x - 4

Övning

Öva på hur man skriver en rät linjes ekvation

Skriv ekvationen för linjen.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Linjära funktioner Åk 9

Uppgifter

Bestäm k- och m-värdena för följande linjer.

y=5x-3

y=4-2x

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: k=5 och m=-3 </cell> <cell right="true" role="exp"> k-värdet är det som står framför x och m-värdet är konstanten. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: k=-2 och m=4 </cell> <cell right="true" role="exp"> k-värdet är det som står framför x och m-värdet är konstanten. </cell> </row>

Avgör om grafen representerar en linjär eller icke-linjär funktion. Motivera ditt svar.

<row> <cell role="sol"> Svar: Den givna grafen representerar inte en linjär funktion eftersom den inte är en enda rak linje. Istället består grafen av en kombination av två raka linjer. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Grafen för en linjär funktion utgör alltid en enda rak linje i ett koordinatsystem. Den givna grafen består däremot av två raka linjer.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Grafen representerar en linjär funktion eftersom den är en rät linje med samma lutning överallt. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Grafen för en linjär funktion är alltid en enda rak linje, och den givna grafen har denna egenskap.

</cell> </row>

Hitta lutningen på linjen nedan som visar avståndet Jairo reste medan han joggade.

<row> <cell role="sol"> k= förändringen iy-led/förändringen ix-led = 4/1 = 4 </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Linjen lutar uppåt åt höger, vilket betyder att den har en positiv lutning. För varje enhet man rör sig åt höger ökar y-värdet med 4 enheter. Du kan använda två punkter, till exempel (1,4) och (2,8), för att beräkna lutningen.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Linjens lutning är 4. </cell> </row>

Grafen visar avgifterna för en hälsoklubb under en månad. Skriv en ekvation som kan användas för att hitta den totala avgiften y för antalet x klasser.

<row> <cell role="sol"> y = kx+m
k = 24/3 = 8
m = 30
Funktionen: y = 8x + 30 </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Linjen stiger från vänster till höger, vilket innebär att den har en positiv lutning. När man förflyttar sig 3 enheter åt höger ökar y-värdet med 24 enheter, vilket ger lutningen k = 24/3 = 8. Där linjen skär y-axeln kan man avläsa m-värdet, som är 30.

</cell> </row>

Överväg ekvationerna för två linjer. y &= 3x-5 6x &= 2y-8 Är dessa linjer parallella?

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 3x-5
6x = 2y-8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row> <expandable> <row> <cell left="true" role="sol"> 6x = 2y-8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Isolera variabeln y för att skriva funktionen på formen y=kx+m. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6x + 8 = 2y </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till 8 på båda sidor av ekvationen så att du bara har 2y på höger sida. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x + 4 = y </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera därefter båda sidor med 2. </cell> </row> </expandable>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 3x-5
k=3 och m = -5

y = 3x+4
k=3 och m = 4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Bestäm k- och m-värdena. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Båda linjerna är parallella eftersom de har samma lutning 3. Den första linjen skär y-axeln vid - 5 och den andra vid 4, vilket visar att de är olika linjer. </cell> <cell right="true" role="exp"> Två linjer är parallella om de har samma lutning och skär y-axeln på olika ställen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, linjerna är parallella. </cell> </row>

Rita grafen till funktionen y = 3x-3.

x	3x-3	y=3x-3
0	3(0)-3=- 3	-3
2	3(2)-3 = 3	3

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Du behöver minst två punkter för att rita en linje. Skapa en värdetabell för att hitta två punkter på grafen för den linjära funktionen. Rita sedan in punkterna i koordinatsystemet och förbind dem med en rak linje. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:

</cell> </row>

Vilket av följande påståenden är sant för alla linjära funktioner? A& Lutningarna kan inte vara0. B& Deras grafer går genom ett oändligt antal punkter. C& Linjära funktioner är alltid växande. D& Deras grafer skärx-axeln.

<row> <cell left="true" role="sol"> Påstående A är falskt eftersom förändringen i y kan vara 0. Till exempel är en horisontell linje en linjär funktion där y inte förändras även om x gör det. Därför har vissa linjära funktioner lutningen 0. </cell> <cell right="true" role="exp"> Är horisontella linjer exempel på linjära funktioner? Vad kan du säga om deras lutning? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Påstående B är sant eftersom en funktion kan beräknas för oändligt många x-värden, vilket ger oändligt många y-värden. Alla dessa värden motsvarar punkter i grafen. </cell> <cell right="true" role="exp"> En funktion beskrivs med en formel och kan beräknas för oändligt många x-värden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Påstående C är falskt eftersom en linje med negativ lutning går nedåt från vänster till höger och därför avtar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Är linjära funktioner med negativ lutning ökande eller avtagande? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Påstående D är falskt eftersom den horisontella linjen y = 1 är parallell med x-axeln och därför inte skär x-axeln. </cell> <cell right="true" role="exp"> Skär en horisontell linje x-axeln? Varför eller varför inte? </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Endast påstående B är sant. </cell> </row>

Skriv en funktion för linjen som går genom punkterna (- 1,10) och (3,- 2).

<row> <cell left="true" role="sol"> Punkter på linjen: (-1,10) och (3,-2) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = förändringen iy-led/förändringen ix-led </cell> <cell right="true" role="exp"> Linjens lutning fås genom att dela förändringen i y med förändringen i x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = - 2-10/3-(- 1) = - 12/4= - 3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förändringen i y fås genom att subtrahera den första punktens y-koordinat från den andra, och förändringen i x på samma sätt. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y=-3x + m </cell> <cell right="true" role="exp"> Ekvationen för en linje är y=kx+m där k är linjens lutning. Sätt in k = - 3. </cell> </row>

<expandable> <row> <cell left="true" role="sol"> - 2 = - 3(3) + m </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en av punkterna, till exempel (3,- 2), och lös ekvationen för m. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7 = m </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till 9 på båda sidor av ekvationen. </cell> </row> </expandable>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: y=-3x+7 </cell> <cell right="right" role="exp"> Skriv linjens ekvation. </cell> </row>

Linjära funktioner Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan