Linjära funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad kk-form.

y=kx+my=kx+m

kk- och mm-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. kk anger lutningen och mm är det yy-värde där linjen skär yy-axeln. I koordinatsystemet har linjen kk-värdet 22 och mm-värdet 1.1.

Uppgift

Vad har y=3x+1y = 3x +1 och y=-x50y = \text{-} x -50 för kk- och mm-värden?

Lösning

En linje på kk-form följer mallen y=kx+m.y = kx +m. kk-värdet är koefficienten framför xx medan mm-värdet är konstanten utanför. Vi pekar ut dessa i ekvationerna. Observera att du måste inkludera minustecknet när koefficienten eller konstanten är negativ samt att om koefficienten är 11 eller -1\text{-} 1 så brukar man inte skriva ut 1:an. Vi skriver för tydlighetens skull ut -1\text{-} 1 framför xx i den andra ekvationen.

Bestamkochmvarde.svg

Linjen y=3x+1y = 3x +1 har kk-värdet 3 och mm-värdet 1 medan linjen y=-x50y = \text{-} x -50 har kk-värdet -1\text{-} 1 och mm-värdet -50\text{-} 50.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

kk-värde

För en rät linje skriven på formen y=kx+my = kx + m anger konstanten kk lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i yy-led när man går 1 steg åt höger i xx-led. Denna lutning kallas oftast bara för kk-värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt kk-värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt kk-värde innebär att den lutar nedåt. Om kk är 00 har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

Formeln för att beräkna kk-värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

k=ΔyΔxellerk=y2y1x2x1 k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \quad \text{eller} \quad k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Δ\Delta är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i yy-värde mellan två punkter på linjen, (x1,y1)(x_1,y_1) och (x2,y2),(x_2,y_2), och dividerar med skillnaden mellan xx-värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.
Uppgift

Bestäm linjens lutning i koordinatsystemet grafiskt.

Lösning

I koordinatsystemet är 11 steg längs xx-axeln lika stort som 11 steg längs yy-axeln. Därför kan vi bestämma linjens lutning genom att räkna antalet steg man måste gå i yy-led för varje steg man går i xx-led.

Man går alltså 33 steg uppåt vilket betyder att linjens lutning är k=3.k=3.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vad är lutningen för linjen som går genom punkterna (2,1)(2,1) och (4,5)?(4,5)?

Lösning

Lutningen på en linje ges av kk-värdet och detta kan beräknas med kk-formeln, dvs. genom att dividera skillnaden i yy-led med skillnaden i xx-led. Vi sätter in punkternas koordinater i formeln. Det spelar ingen roll i vilken ordning de sätts in så länge den är samma i täljaren och nämnaren.

k=y2y1x2x1k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
k=5142k = \dfrac{{\color{#0000FF}{5}}-{\color{#009600}{1}}}{{\color{#0000FF}{4}}-{\color{#009600}{2}}}
k=42k = \dfrac{4}{2}
k=2k = 2

Linjen har lutningen 22.


Visa lösning Visa lösning
Begrepp

mm-värde

För en rät linje skriven på k-form, kan konstanten mm tolkas som ett mått på linjens förskjutning i yy-led från origo. Det läses av som det yy-värde där linjen skär yy-axeln.

Begrepp

Proportionalitet

Går en rät linje, y=kx+my=kx+m igenom origo säger man att yy är proportionell mot xx. Detta kallas ibland direkt proportionalitet. Eftersom linjen skär yy-axeln i origo är m=0m=0 och linjens funktionsuttryck blir då som nedan.

y=kxy=kx

Lutningen kk brukar kallas proportionalitetskonstant.
Uppgift

Leia köper 2 hekto godis och betalar 17 kr medan Luke köper 8 hekto godis och betalar 68 kr. Är priset på godiset proportionellt mot vikten?

Lösning

För att avgöra om priset, yy, är proportionellt mot vikten, xx, måste vi undersöka om de två priserna och tillhörande vikter passar in på samma linje på formen y=kxy = kx. Vi sätter in Leias värden och löser ut kk.

y=kxy = kx
17=k2{\color{#0000FF}{17}} = k \cdot {\color{#009600}{2}}
172=k\dfrac{17}{2} = k
k=172k = \dfrac{17}{2}
k=8.5k = 8.5

Vi har fått ut proportionalitetskonstanten k=8.5k=8.5, som kan tolkas som att godiset kostar 8.5 kr/hg. Vi sätter nu in Lukes värden i ekvationen y=8.5xy = 8.5x och ser om vi får samma sak i höger- och vänsterledet.

y=8.5xy = 8.5x
68=?8.58{\color{#0000FF}{68}} \stackrel{?}{=} 8.5 \cdot 8
68=6868 = 68

Det stämmer, vilket innebär att båda punkterna ligger på samma linje. Priset är proportionellt mot vikten.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}