Linjära funktioner

Begrepp

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k$ -form.

$y=kx+m$

$k$ - och $m$ -värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. $k$ anger lutningen och $m$ är det $y$ -värde där linjen skär $y$ -axeln. I koordinatsystemet har linjen $k$ -värdet $2$ och $m$ -värdet $1.$

Vad är $k$ - och $m$ -värdet för linjen?

Uppgift

Vad har $y = 3x +1$ och $y = \text{-} x -50$ för $k$ - och $m$ -värden?

Lösning

En linje på $k$ -form följer mallen $y = kx +m.$ $k$ -värdet är koefficienten framför $x$ medan $m$ -värdet är konstanten utanför. Vi pekar ut dessa i ekvationerna. Observera att du måste inkludera minustecknet när koefficienten eller konstanten är negativ samt att om koefficienten är $1$ eller $\text{-} 1$ så brukar man inte skriva ut 1:an. Vi skriver för tydlighetens skull ut $\text{-} 1$ framför $x$ i den andra ekvationen.

Linjen $y = 3x +1$ har $k$ -värdet 3 och $m$ -värdet 1 medan linjen $y = \text{-} x -50$ har $k$ -värdet $\text{-} 1$ och $m$ -värdet $\text{-} 50$ .

Visa lösning

Begrepp

$k$ -värde

För en rät linje skriven på formen $y = kx + m$ anger konstanten $k$ lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i $y$ -led när man går 1 steg åt höger i $x$ -led. Denna lutning kallas oftast bara för $k$ -värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt $k$ -värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt $k$ -värde innebär att den lutar nedåt. Om $k$ är $0$ har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

Formeln för att beräkna $k$ -värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

$k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \quad \text{eller} \quad k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

\Delta

är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i

y

-värde mellan två punkter på linjen,

(x_1,y_1)

och

(x_2,y_2),

och dividerar med skillnaden mellan

x

-värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.

Bestäm en linjes lutning från en graf

Uppgift

Bestäm linjens lutning i koordinatsystemet grafiskt.

Lösning

I koordinatsystemet är $1$ steg längs $x$ -axeln lika stort som $1$ steg längs $y$ -axeln. Därför kan vi bestämma linjens lutning genom att räkna antalet steg man måste gå i $y$ -led för varje steg man går i $x$ -led.

Man går alltså $3$ steg uppåt vilket betyder att linjens lutning är $k=3.$

Visa lösning

Bestäm en linjes lutning med två punkter

Uppgift

Vad är lutningen för linjen som går genom punkterna $(2,1)$ och $(4,5)?$

Lösning

Lutningen på en linje ges av $k$ -värdet och detta kan beräknas med $k$ -formeln, dvs. genom att dividera skillnaden i $y$ -led med skillnaden i $x$ -led. Vi sätter in punkternas koordinater i formeln. Det spelar ingen roll i vilken ordning de sätts in så länge den är samma i täljaren och nämnaren.

k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{4,5}}\right)

&

\left({\color{#009600}{2,1}}\right)

k = \dfrac{{\color{#0000FF}{5}}-{\color{#009600}{1}}}{{\color{#0000FF}{4}}-{\color{#009600}{2}}}

Förenkla termer

k = \dfrac{4}{2}

Beräkna kvot

k = 2

Linjen har lutningen $2$ .

Visa lösning

Begrepp

$m$ -värde

För en rät linje skriven på k-form, kan konstanten $m$ tolkas som ett mått på linjens förskjutning i $y$ -led från origo. Det läses av som det $y$ -värde där linjen skär $y$ -axeln.

Begrepp

Proportionalitet

Går en rät linje, $y=kx+m$ igenom origo säger man att $y$ är proportionell mot $x$ . Detta kallas ibland direkt proportionalitet. Eftersom linjen skär $y$ -axeln i origo är $m=0$ och linjens funktionsuttryck blir då som nedan.

$y=kx$

Lutningen

k

brukar kallas proportionalitetskonstant.

Är $y$ proportionell mot $x$ ?

Uppgift

Leia köper 2 hekto godis och betalar 17 kr medan Luke köper 8 hekto godis och betalar 68 kr. Är priset på godiset proportionellt mot vikten?

Lösning

För att avgöra om priset, $y$ , är proportionellt mot vikten, $x$ , måste vi undersöka om de två priserna och tillhörande vikter passar in på samma linje på formen $y = kx$ . Vi sätter in Leias värden och löser ut $k$ .

y = kx

y={\color{#0000FF}{17}}

,

x={\color{#009600}{2}}

{\color{#0000FF}{17}} = k \cdot {\color{#009600}{2}}

\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.

\dfrac{17}{2} = k

Omarrangera ekvation

k = \dfrac{17}{2}

Beräkna kvot

k = 8.5

Vi har fått ut proportionalitetskonstanten $k=8.5$ , som kan tolkas som att godiset kostar 8.5 kr/hg. Vi sätter nu in Lukes värden i ekvationen $y = 8.5x$ och ser om vi får samma sak i höger- och vänsterledet.

y = 8.5x

y={\color{#0000FF}{68}}

,

x={\color{#009600}{8}}

{\color{#0000FF}{68}} \stackrel{?}{=} 8.5 \cdot 8

Multiplicera faktorer

68 = 68

Det stämmer, vilket innebär att båda punkterna ligger på samma linje. Priset är proportionellt mot vikten.

Visa lösning

Linjära funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Räta linjens ekvation

Exempel

Vad är $k$ - och $m$ -värdet för linjen?

$k$ -värde

Exempel

Bestäm en linjes lutning från en graf

Exempel

Bestäm en linjes lutning med två punkter

$m$ -värde

Proportionalitet

Exempel

Är $y$ proportionell mot $x$ ?

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Ledtråd

Funktioner

Exempel

Vad är kkk- och mmm-värdet för linjen?

Exempel

Bestäm en linjes lutning från en graf

Exempel

Bestäm en linjes lutning med två punkter

Exempel

Är yyy proportionell mot xxx?

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Ledtråd

Vad är $k$ - och $m$ -värdet för linjen?

Är $y$ proportionell mot $x$ ?