Linjära och exponentiella förändringar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.
Begrepp

Proportionalitet

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är 7.907.90 kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera 7.907.90 med antalet hg. Om vikten i hg är xx ska man betala 7.90x  kronor. 7.90 \cdot x \ \ \text{kronor.} Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

Begrepp

Linjära förändringar

Ett proportionellt samband ger alltid 00 om man sätter in 0.0. Men om man t.ex. måste betala 22 kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset: 7.90x+2  kronor. 7.90x + 2 \ \ \text{kronor}.

Både 7.90x7.90x och 7.90x+27.90x + 2 är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen 7.907.90 kr för varje extra hg man köper.
Uppgift

Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen k(x)=450xk(x) = 450x kr, där xx är antalet dagar som man hyr stugan. Hur mycket är kostnaden per dag? Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på 300 kr?

Lösning

Tittar vi på funktionen ser vi att x,x, som är antalet dagar, multipliceras med talet 450.450. Detta kan vi direkt tolka som att kostnaden per dag är 450450 kr. Om man ökar xx med 1,1, alltså en dag, ökar ju den totala kostnaden med 450450 kr. Vi ser t.ex. att k(0)=4500=0ochk(1)=4501=450. k(0) = 450 \cdot 0 = 0 \qquad \text{och} \qquad k(1) = 450 \cdot 1 = 450. Om det även finns en bokningsavgift på 300300 kr måste kostnaden öka med denna summa, oavsett hur många dagar som man hyr stugan. Vi får den nya funktionen, som vi kan kalla f(x),f(x), genom att addera 300300 till 450x.450x. f(x)=450x+300 f(x) = 450x + 300

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentiella förändringar

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in 1000010\,000 kr på ett konto med 5%5\,\% ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn 1.05,1.05, kommer det efter ett år att finnas 100001.05=10500kr. 10\,000 \cdot 1.05 = 10\,500 \; \text{kr.} Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare 5%5\,\% nästa år, vilket gör att det kommer att finnas 100001.05105001.05=105001.05=11025kr. \underbrace{10\,000 \cdot 1.05}_{10\,500}\cdot 1.05 = 10\,500 \cdot 1.05 = 11\,025 \; \text{kr}. Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med 500500 kr första året och 525525 kr andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter tt år kan beskrivas av s(t)=100001.05t, s(t) = 10\,000 \cdot 1.05^t,

vilket är en exponentialfunktion.
Uppgift

Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen f(t)=240000.93t, f(t)=24\,000 \cdot 0.93^t, där tt är antalet år efter 1985.1985. Hur många personer bodde i kommunen 19901990 enligt modellen? Med hur många procent minskar befolkningen varje år?

Lösning
19901990 är 55 år efter 1985.1985. Vi sätter därför in t=5t=5 i funktionen och beräknar.
f(t)=240000.93tf(t)=24\,000 \cdot 0.93^t
f(5)=240000.935f({\color{#0000FF}{5}})=24\,000 \cdot 0.93^{{\color{#0000FF}{5}}}
f(5)=16696.52086f(5)=16\,696.52086\ldots
Här får vi ett långt decimaltal, men befolkning brukar anges i tusental så vi avrundar till det: f(5)=16696.5208617000. f(5)=16\,696.52086\ldots\approx 17\,000. År 19901990 beräknas alltså befolkningen ha varit cirka 1700017\,000 personer. För att bestämma den årliga procentuella förändringen tittar vi på funktionsuttrycket igen: f(t)=240000.93t. f(t)=24\,000 \cdot 0.93^t. För varje år som går ökar exponenten, t,t, med 1.1. Det betyder att varje år multipliceras befolkningen med förändringsfaktorn 0.93.0.93. Den kan även skrivas som 93%.93\,\%. För varje år är det alltså kvar 93%93\,\% av föregående års befolkning, vilket motsvarar en årlig minskning med 7%.7\,\%.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande grafer illustrerar proportionaliteter?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För sina sista slantar köper Nils en skraplott. Till hans glädje vinner han lite pengar som han stoppar ner i sin plånbok. Mängden pengar Nils har kvar i plånboken kan sedan beskrivas av sambandet y=20050x, y = 200 - 50x, där yy är hur många kronor som finns kvar i plånboken och xx är tiden i timmar efter vinsten.


a

Tolka betydelsen av talet 200200 i formeln.

b

Tolka betydelsen av talet -50\text{-} 50 i formeln.

c

Under hur lång tid kan formeln gälla?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nalle Puh samlar honungsburkar i sin källare. Just nu finns det 15 honungsburkar, men han tänker ställa in 2 nya varje vecka.


a

Ställ upp ett funktionsuttryck som beskriver antalet honungsburkar yy i källaren efter xx veckor.

b

Hur många burkar har han efter ett år om han fortsätter i samma takt?

c

Hur lång tid tar det för honom att samla in 1000 honungsburkar (om vi utgår ifrån att han har plats i källaren)?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På midsommarafton dricker Anna-Lisa 6 starköl, vilket gör att vid midnatt är koncentrationen alkohol i hennes blod 1.31.3 promille. Alkoholkoncentrationen sjunker sedan enligt funktionen y=1.30.11x, y = 1.3 - 0.11x, där xx är antalet timmar efter midnatt. I Sverige är gränsen för rattfylla 0.20.2 promille. Om man kan lita på funktionen, när på midsommardagen är det lagligt för Anna-Lisa att köra hem?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En elev i ettan på naturprogrammet har precis köpt en ny dator som hon ska använda under sin skoltid. Hon funderar över hur mycket datorn kommer att vara värd då hon tar studenten. Hennes kompisar ställer upp funktionerna f(x),g(x)f(x), \, g(x) och h(x)h(x) som de anser beskriver värdet på datorn i kronor xx år efter inköp. f(x)=49991.08xg(x)=490.8xh(x)=49990.81x\begin{aligned} f(x)&=4999\cdot 1.08^x \\ g(x)&=49 \cdot 0.8^x \\ h(x)&=4999 \cdot 0.81^x \end{aligned}

a

Bara en av funktionerna är en rimlig uppskattning av värdeutvecklingen. Vilken?

b

Använd den mest rimliga modellen för att beräkna det uppskattade värdet då eleven (förhoppningsvis) tar studenten om 3 år.

c

Förklara varför de andra funktionerna inte är rimliga.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Adam köpte en begagnad moped. Den kostade 1000010\,000 kr. Efter xx år är mopedens värde 100000.8x.10\,000\cdot 0.8^x. Hur stor är värdeminskningen i procent per år?

Nationella provet VT12 1a
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Forskare har uppskattat att antalet djur av en utrotningshotad art idag är 50000.50\,000. Man räknar med att det kommer att minska ca 3%3\, \% varje år. Antal djur efter xx år kan beskrivas med en exponentialfunktion på formen f(x)=Cax.f(x)=C\cdot a^x.

a

Vad är funktionens startvärde, C?C?

b

Vad är funktionens förändringsfaktor, a?a?

c

Ställ upp exponentialfunktionen.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det ursprungliga priset på en vara är 20002000 kr. Varans värde ökar med 5%5\, \% per år. yy är varans pris och xx är antalet år efter inköp. Vilket av följande samband beskriver prisutvecklingen? Ringa in ditt svar.

Funktioner
Nationella provet HT16 1a
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet har två linjära funktioner ritats. Motivera vilken funktion du tror har störst funktionsvärde när x=25.x = 25.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En exponentialfunktion f(x)=Cax f(x) = C \cdot a^x har de två kända funktionsvärdena f(0)=100f(0) = 100 och f(8)=50f(8) = 50. Bestäm konstanterna CC och aa.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Armando och Kristoffer älskar att dricka chailatte, men de har märkt att det blir ganska dyrt. Varje dag på väg till skolan brukar de köpa en. Graferna visar den totala kostnaden per vecka K(v)K(v) för Armando som handlar på Kaffehuset och L(v)L(v) för Kristoffer som handlar på Latterian.


a

Hur kan du, utan beräkningar, se att en chailatte är billigare på Latterian?

b

Hur mycket billigare är en chailatte på Latterian än på Kaffehuset?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Decibel är ett mått som beskriver ljudstyrka. En tumregel är att om ljudstyrkan fördubblas, ökar antalet decibel (dB) med ungefär 3. Undersök om antalet decibel är proportionellt mot ljudstyrkan om du vet att ljudstyrkan 2 motsvarar 3 dB?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gunnar blev mästare för andra året i rad i korvätartävlingen "Hot Dog-Bonanza". På 1212 minuter lyckades han äta totalt 5.45.4 kg korv. Gunnars coach antecknar hur många kg han har ätit vid vissa tidpunkter under tävlingen. Statistiken kan sammanfattas med följande punkter. (3,2.1),(5,3.5),(9,4.5)och(12,5.4) (3,2.1),\quad (5,3.5),\quad (9,4.5) \quad \text{och} \quad (12,5.4) Är Gunnars korvätning proportionell mot tiden?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Johanna häller upp kaffe med temperaturen 9292\, ^\circC i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där temperaturen är 1515\, ^\circ C. För att beskriva hur temperaturen yy \, ^\circC hos kaffet förändras med tiden xx timmar undersöker hon två olika modeller.

  • Formel för modell A: y=927xy = 92-7x.
  • Formel för modell B: y=920.93xy = 92 \cdot 0.93^x.
a

Beräkna kaffets temperatur efter tre timmar enligt formel A och enligt formel B.

b

Beskriv med vardagligt språk vad formel A respektive formel B säger om hur temperaturen sjunker.

c

Undersök för hur många timmar som formeln för modell A respektive B kan gälla.

Nationella provet VT02 MaA
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När du säger att temperaturen är 00 grader säger din vän Michael att det faktiskt är 3232 grader, och när Michael säger att temperaturen är 212212 grader menar du att det är 100100 grader. Det visar sig att Michael mäter temperaturen i grader Fahrenheit (^\circF) och du i grader Celsius (^\circC).


a

Med en linjär funktion f(x)=kx+mf(x) = kx + m kan man beskriva hur antalet grader Fahrenheit, f(x),f(x), beror av antalet grader Celsius, x.x. Bestäm denna funktion.

b

Använd f(x)f(x) för att beräkna vad temperaturen 20 {20} \ ^{\circ}C motsvarar i Fahrenheit.

c

Michael säger att utomhustemperaturen en dag är 86 {86} \ ^{\circ}F. Vad motsvarar det i Celsius?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tillverkningskostnaden för "Benkes parkstolar" beskrivs av funktionen y=100+150xy = 100 + 150x, där xx är antalet tillverkade parkstolar.


a

Vad ska Benke sätta för pris per parkstol för att täcka tillverkningskostnaden om han tillverkar 50 stycken?

b

Benke får in en stororder på 500 stolar och ger då beställaren 10 % mängdrabatt. Då gör Benke en vinst på 14 900 kr. Vad är det ordinarie priset per stol?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Kalender.svg
a

Hur många av årets månader har i den islamiska kalendern 30 dagar? Motivera ditt svar.

b

Muhammeds flykt från Mecka till Medina startar tideräkningen i den islamiska kalendern. Detta motsvarar den 1515 juli år 622622 i den gregorianska kalendern. Sambandet mellan årtalen i de båda kalendrarna kan beskrivas med hjälp av formeln: H=33(M622)32 H=\dfrac{33(M-622)}{32} där HH anger årtalet i den islamiska kalendern och MM anger årtalet i den gregorianska kalendern, officiell kalender i Sverige.

Vilket år är det i år i den islamiska kalendern enligt formeln?

c

Ge en förklaring till 3332\dfrac{33}{32} i formeln.

d

Vilket år kommer de båda kalendrarna att visa samma årtal enligt formeln?

Nationella provet VT12 1a/1b/1c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}