Linjära ekvationssystem

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ett linjärt ekvationssystem är två eller flera linjära ekvationer som man löser tillsammans och som har en gemensam lösning. För att visa att de tillhör ett ekvationssystem brukar ekvationerna samlas ihop med en klammer och ibland sätter man även ut romerska siffror för att enklare kunna hänvisa till dem. {x+y=3(I)xy=1(II) \begin{cases}x+y=3 & \, \text {(I)}\\ x-y=1 & \text {(II)}\end{cases} Ekvationssystem innehåller oftast mer än en okänd variabel och lösningen till systemet är de värden på variablerna som gör att alla likheter stämmer. I exemplet ovan söks det par av xx- och yy-värden som när de sätts in gör att höger- och vänsterleden blir lika stora i båda ekvationerna. Lösningen i det fallet är x=2x = 2 och y=1,y = 1, vilket brukar skrivas {x=2y=1. \begin{cases}x=2 \\ y=1. \end{cases}

Ekvationssystem kan lösas grafiskt, vilket innebär att man hittar punkten där de räta linjernas grafer skär varandra.
Uppgift

I koordinatsystemet visas två räta linjer.

Använd figuren för att lösa ekvationssystemet {y=2x+5y=0.5x+2.\begin{cases}y=2x+5 \\ y=0.5x+2. \end{cases}

Lösning

Eftersom ekvationerna i ekvationssystemet är samma som de i figuren bestämmer vi lösningen till ekvationssystemet genom att läsa av linjernas skärningspunkt.

Skärningspunkten har xx-koordinaten -2\text{-}2 och yy-koordinaten 1,1, vilket innebär att ekvationssystemet har lösningen {x=-2y=1.\begin{cases}x=\text{-}2 \\ y=1. \end{cases}

Visa lösning Visa lösning
Metod

Grafisk lösning - ekvationssystem

Man löser ekvationssystem grafiskt genom att rita upp systemets ekvationer som grafer och läsa av det eller de xx- och yy-värden där graferna skär varandra. Exempelvis kan man lösa ekvationssystemet {2y=62xx=y1\begin{cases}2y=6-2x \\ x=y-1 \end{cases} på detta sätt.

1

Skriv ekvationerna på kk-form

Börja med att skriva om ekvationerna på kk-form genom att lösa ut yy i vänsterledet: {y=3xy=x+1.\begin{cases}y=3-x \\ y=x+1. \end{cases}

2

Rita funktionerna i ett koordinatsystem

Man kan antingen rita funktionerna för hand eller med en grafritande räknare.

3

Läs av grafernas skärningspunkt

Nu kan man läsa av skärningspunkten.

Graferna skär varandra i punkten (1,2).(1,2). Lösningen till ekvationssystemet är därför {x=1y=2.\begin{cases}x=1 \\ y=2. \end{cases}

Det är möjligt att använda räknaren för att lösa ekvationssystem. Det gör man genom att tolka lösningen som skärningspunkten mellan två linjer.

Digitala verktyg

Skriv ekvationerna som funktioner på kk-form

För att räknaren ska kunna tolka ekvationerna som linjer måste man först skriva om dem på kk-form, alltså på formen y=kx+m.y = kx + m. Detta gör man genom att lösa ut yy ur ekvationerna, vilket ger funktionerna för två räta linjer.

Digitala verktyg

Skriv in funktionerna på räknaren

Dessa funktioner skriver man nu in på räknaren. På en TI-räknare görs detta genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. För att skriva xx använder man X,T,θ\theta, n.

Digitala verktyg

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in trycker man på GRAPH för att rita ut dem i ett koordinatsystem.

För att ändra de xx- och yy-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

Digitala verktyg

Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två utritade graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja 5:intersect i listan.

När man har valt 5:intersect visas de uppritade graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

  • First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Om det finns fler än två utritade grafer går det att välja mellan dem med pilarna upp och ner.
  • Second curve: Välj den andra grafen på samma sätt.
  • Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda pilarna höger och vänster och tryck sedan på ENTER.
Skärningspunktens xx- och yy-värden skrivs nu ut, vilket är lösningen till ekvationssystemet.
Begrepp

Antal lösningar till ett linjärt ekvationssystem

För ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och två okända variabler är det möjligt att det finns en lösning, ingen lösning eller oändligt många lösningar.

En lösning

Om ekvationerna i ekvationssystemet representerar två räta linjer som inte är parallella, dvs. har olika kk-värden, finns det exakt en lösning till ekvationssystemet och det är linjernas skärningspunkt.

Inga lösningar

Om linjerna i ekvationssystemet är parallella, dvs. har samma kk-värde, men olika mm-värde, innebär det att de aldrig skär varandra. Det innebär att ekvationssystemet saknar lösning.


Oändligt många lösningar

Om ekvationerna i ekvationssystemet har samma kk- och mm-värden beskriver de samma linje vilket innebär att de sammanfaller. Ekvationssystemet har då oändligt många lösningar eftersom linjerna byggs upp av samma punkter.

Uppgift

Finns det något värde på kk som gör att ekvationssystemet får oändligt många lösningar? {y=2x+5y=kx+2 \begin{cases}y=2x+5 \\ y=kx+2 \end{cases}

Lösning

Om ekvationssystemet ska ha oändligt antal lösningar måste linjerna sammanfalla, dvs. vara identiska. Då måste linjernas kk- och mm-värden vara lika. Vi kan sätta kk till 2,2, men linjerna har olika mm-värden så de kan inte sammanfalla.

Oavsett kk-värde kommer ekvationssystemet alltså aldrig ha oändligt antal lösningar.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationssystemen grafiskt utan räknare.

a

{y=3x4y=x+4\begin{cases}y=3x-4 \\ y=x+4 \end{cases}

b

{y=-3x+2y=-2x+3\begin{cases}y=\text{-}3x+2 \\ y=\text{-}2x+3 \end{cases}

c

{3y=3x6y+0.5x=-5\begin{cases}3y=3x-6 \\ y+0.5x=\text{-}5 \end{cases}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationssystem grafiskt med räknare.

a

{y=3x52y=-8x+18\begin{cases}y=3x-5 \\ 2y=\text{-}8x+18 \end{cases}

b

{y=-3x+13y+9x=0\begin{cases}y=\text{-}3x+1 \\ 3y+9x=0 \end{cases}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna till två ekvationer är ritade i koordinatsystemet.


a

Ställ upp ett ekvationssystem med båda linjernas ekvationer.

b

Lös ekvationssystemet grafiskt.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Ställ upp ett ekvationssystem som kan representeras med hjälp av figuren.


b

Lös ekvationssystemet grafiskt.

c

Pröva din lösning.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Ett linjärt ekvationssystem består av två ekvationer. I koordinatsystemet finns grafen till den ena ekvationen ritad.
a

Grafen till den andra ekvationen har lutningen k=0.5.k=0.5. Rita grafen till denna ekvation så att ekvationssystemet får lösningen {x=2y=4. \begin{cases}x=2 \\ y=4. \end{cases}

b

Ange ekvationssystemet som nu finns avbildat i koordinatsystemet.

Nationella provet HT13 2a
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Koordinatsystemet visar en rät linje LL och en punkt PP som ligger på linjen.

Linje i ett koordinatsystem


a

Ange ekvationen för den räta linjen L.L.

b

Ange ekvationen för en annan rät linje så att den tillsammans med linjen LL bildar ett ekvationssystem som har sin lösning i punkten P.P.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Punkterna (8,4),(4,6)(8,4), \,(4,6) och (1,-3)(1,\text{-} 3) är lösningar till de linjära ekvationssystemen nedan. A:{y3x=-6y=-0.5x+8B:{y20=-2xyx+4=0C:{y=25x7x10=y\begin{aligned} &\mathbf{A:}\begin{cases}y-3x=\text{-} 6\\ y=\text{-} 0.5x+8 \end{cases}\\[1.5em] &\mathbf{B:}\begin{cases}y-20=\text{-} 2x\\ y-x+4=0 \end{cases}\\[1.5em] &\mathbf{C:}\begin{cases}y=2-5x\\ 7x-10=y\end{cases} \end{aligned} Para ihop rätt lösning och ekvationssystem.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör hur många lösningar ekvationssystemen har.

a

{y=3x4y=3x+6\begin{cases}y=3x-4 \\ y=3x+6 \end{cases}

b

{y=-x+9y=5x\begin{cases}y=\text{-} x+9 \\ y=5x \end{cases}

c

{y=-3x13y=3x+13\begin{cases}y=\text{-}3x-13 \\ y=3x+13 \end{cases}

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har följande ekvationssystem: {2x+y=86x2y=4. \begin{cases}2x+y=8 \\ 6x-2y=4. \end{cases}

a

Är x=5x = 5 och y=-2y = \text{-} 2 en lösning?

b

Är x=2x = 2 och y=4y = 4 en lösning?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationssystemen grafiskt med räknare.

a

{y=2x+16x3y=12\begin{cases}y=2x+1 \\ 6x-3y=12 \end{cases}

b

{9x+2y=1.52x+y2=0\begin{cases}9x+2y=1.5 \\ 2x+y-2=0 \end{cases}

c

{3xy=-252y+8x=-90\begin{cases}3x-y=\text{-}25 \\ 2y+8x=\text{-}90 \end{cases}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationssystemen grafiskt.


a

{6x+5y=-412x+10y=3\begin{cases}6x+5y=\text{-}4 \\ 12x+10y=3 \end{cases}

b

{2x+y1=04x+2y2=0\begin{cases}2x+y-1=0 \\ 4x+2y-2=0 \end{cases}

c

{x=3y724=9y3x\begin{cases}x=3y-7 \\ 24=9y-3x \end{cases}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka värden på kk och mm har ekvationssystemet {2x+3y=9y=kx+m \begin{cases}2x+3y=9 \\ y=kx+m \end{cases}

a

oändligt många lösningar?

b

inga lösningar?

c

en lösning?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ställ upp ett ekvationssystem som har lösningen {x=-1y=4. \begin{cases}x=\text{-}1 \\ y=4. \end{cases}

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Patrik ska handla lösviktsgodis. Han tänker köpa 55 hg godis och har 3030 kronor att handla för. I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar 88 kr/hg och det billigare 55 kr/hg. Patrik frågar sig: Hur många hekto ska han köpa av de två godissorterna för att det ska kosta 3030 kr?

Ställ upp ett ekvationssystem vars lösning ger Patrik svar på sin fråga.

Nationella provet exempeluppgifter 2b/2c
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna visar ekvationssystemet {y=x+2y=52x.\begin{cases}y=x+2 \\ y=5-2x. \end{cases}


a

Visa att två av punkterna har xx- och yy-koordinater som gör att ekvationen y=x+2y=x+2 stämmer.

b

Visa att två av punkterna har xx- och yy-koordinater som gör att ekvationen y=52xy=5-2x inte stämmer.

c

Visa att skärningspunktens koordinater löser båda ekvationer.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är x=7x=7 en del av lösningen till ekvationssystemet? {4x+4y=373x7y=5 \begin{cases}4x+4y=37 \\ 3x-7y=5 \end{cases}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett ekvationssystem består av två ekvationer där varje ekvation innehåller två variabler xx och yy.


a

Den ena ekvationen är 3x+2y=12.3x+2y=12. Ge ett exempel på hur den andra ekvationen kan se ut så att ekvationssystemet saknar lösningar.

b

Den ena ekvationen är fortfarande 3x+2y=12.3x+2y=12. Ge ett exempel på hur den andra ekvationen kan se ut så att ekvationssystemet endast får lösningen


{x=2y=3.\begin{cases}x=2 \\ y=3. \end{cases}

Nationella provet VT12 2b/2c
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationssystemet grafiskt. Du får använda räknare. {x+y=4y2=9 \begin{cases}x+y=4 \\ y^2=9 \end{cases}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två linjer skär varandra i första kvadranten som i figuren. Den ena skär yy-axeln i (0,m).(0,m).

Ekvationssystemet som beskrivs har lösningen {x=4y=1.\begin{cases}x=4 \\ y=1. \end{cases} Ställ upp ett sådant ekvationssystem

a

om m=5.m=5.

b

för ett godtyckligt värde på m.m.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två linjer y=2x+5y=2x+5 och y=kx+my=kx+m skär varandra i en enda punkt. Den punkten ligger på yy-axeln.

Vilka värden kan riktningskoefficienten kk ha? Motivera.

Nationella provet bedömningsexempel 2b/2c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}