mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Ekonomi och matematik

Linjär optimering

Begrepp

Optimering

Optimering handlar om att hitta den bästa lösningen på ett problem. Det kan handla om att hitta de mått som ger maximal volym för t.ex. ett bagageutrymme i en bil, eller att lägga ett så bra skolschema som möjligt utifrån olika önskemål och begränsningar. Inom matematik handlar optimering om att hitta maximum eller minimum för olika funktioner.
Begrepp

Linjär optimering

Funktioner som använder mer än en variabel är ofta väldigt svåra att hitta maximum eller minimum till, men det finns undantag. Om funktionen enbart består av förstagradstermer, som exempelvis kallas den linjär. Då finns ett knep som underlättar optimeringen, men det finns ett par krav för att det ska fungera:

  • Funktionen måste ha en begränsad definitionsmängd. Om den inte vore begränsad skulle och kunna vara hur stora som helst och därmed även värdet på dvs. inget maximum skulle finnas.
  • Definitionsmängden måste begränsas av räta linjer.
Om kraven är uppfyllda måste funktionens maximum och minimum antas i hörnpunkter till definitionsmängden, så knepet är att bara undersöka dessa. Det är egentligen precis som för vanliga linjer som . Linjen når bara ett maximum om definitionsmängden är begränsad, som t.ex. till Detta maximum kan endast inträffa i en av intervallets ändpunkter.
Metod

Bestämma extremvärden med linjär optimering

För att bestämma största och minsta värde av en funktion som krävs en begränsad definitionsmängd. Den anges ofta med ett system av olikheter, exempelvis som tillsammans beskriver vilka kombinationer av och som är tillåtna att sätta in i funktionen.

1

Rita området som villkoren beskriver

Olikheterna beskriver ett område som man kan markera i ett koordinatsystem.

Detta kan man göra för hand eller med räknare.

2

Bestäm hörnens koordinater

De maximala och minimala värdena på funktionen finns i områdets hörn. Man behöver därför bestämma hörnens koordinater.

I vissa fall kan man läsa av koordinaterna direkt. Här är det dock svårt att göra det, så istället får man bestämma skärningspunkterna mellan de olika linjerna genom att lösa tre olika ekvationssystem. För hörn och gäller följande system. Lösningarna på ekvationssystemen ger hörnens koordinater. I de två nedre systemen har koordinaterna avrundats till en decimal.

3

Sätt in koordinater i funktionen

Nu sätter man in koordinaterna från respektive hörn i funktionen för att se vilka av dessa som ger största och minsta värde på

Det största och minsta värdet är alltså respektive

fullscreen
Uppgift

Ett företag producerar och säljer exklusiv apelsinsaft och apelsinläsk. Tillverkningstid, apelsinåtgång och hur stor vinst företaget gör per liter visas i tabellen.

Produkt Tid (h) Apelsiner (st.) Vinst (kr)
Saft
Läsk

Hur mycket kan företaget maximalt tjäna på en vecka, om man vet att de anställda tillsammans får jobba max h/vecka och att apelsintillgången är st./vecka?

Visa Lösning
Lösning

Vi kallar antal liter saft för och antal liter läsk för Funktionen som ska maximeras ska beskriva den totala vinsten. Eftersom varje liter saft ger vinsten kr och motsvarande vinst för läsken är kr blir vinstfunktionen Variablerna och kan inte anta vilka värden som helst. Eftersom båda beskriver antal liter kan de inte vara negativa:

Vidare finns det begränsningar på antalet apelsiner och antal timmar personalen kan jobba. Tillverkningstiden för saften är timmar per liter och därför tar det timmar att producera liter saft. På samma sätt tar det timmar att producera liter läsk. Detta får inte överstiga timmar, vilket ger villkoret På liknande sätt kan man bestämma ett villkor för apelsintillgången då man vet att det går åt st. per liter saft och st. per liter läsk. Det totala antalet apelsiner får inte överstiga st./vecka, så De fyra bivillkoren samlas i ett system av olikheter:

Detta område vill vi nu rita upp så vi börjar med att lösa ut i de två översta olikheterna.

Nu tar vi den andra.
Den första olikheten beskriver alla punkter på och under linjen och den andra beskriver alla punkter på och under linjen Olikheterna och betyder att både och måste vara eller positiva, så alla punkter måste vara i första kvadranten.
Funktionens största värde antas i något av hörnen så vi bestämmer koordinaterna för dem. Vi börjar med linjernas skärningspunkt.

Skärningspunktens -koordinat är Vi sätter in detta i en av funktionerna för att beräkna -koordinaten: Det ena hörnet är alltså Det övre hörnet är där linjen skär -axeln. Där är och -värdet blir linjens -värde dvs. Det högra hörnet är där skär -axeln. Där är -koordinaten och vi bestämmer -värdet genom att lösa ekvationen Det sista hörnet är i origo dvs. (0,0). För att avgöra vilket hörn som ger störst värde på vinstfunktionen sätter vi in punkternas koordinater och jämför funktionsvärdena.

Det största värdet som antar är alltså vilket betyder att den maximala veckovinsten är

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward