Dashboard

Årskurs 9 Visa detaljer

3. Likformighet Åk 9

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 9 /

Kapitel 4

Likformighet Åk 9

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Visa mer

	12 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Likformighet Åk 9

Sida av 12

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Likformiga
Kongruenta
Likformiga trianglar
Topptriangel
Topptriangelsatsen

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:

Teori

Likformiga figurer

När man gör en bild i en viss skala får bilden samma form som det ursprungliga föremålet. Då säger man att bilden och föremålet är likformiga.

Exempel

Här ser vi två rektanglar som är likformiga.

Alla sidor i den större rektangeln är 4 gånger så långa som motsvarande sidor i den mindre rektangeln.

12cm/3cm = 4 och 8cm/2cm=4

Kom ihåg

Generellt gäller att två månghörningar är likformiga om:

Förhållandet mellan motsvarande sidor är detsamma
Motsvarande vinklar är lika stora

Är parallellogramen likformiga?

På bilden här nedanför syns två parallellogram där vinklarna är lika stora.

Vi vill i nästa steg jämföra om paralellogrammen är likformiga, eller inte, genom att jämföra sidornas längd, som följande;

6cm/3cm = 2 och 3cm/2cm= 1,5

Men eftersom sidornas förhållanden inte är samma, så är parallellogrammen inte likformiga.

Teori

Kongruenta figurer

När två figurer ser exakt lika ut och är identiska, kallas de kongruenta. Det betyder att de har samma form och storlek.

Om två figurer är kongruenta kan de överlappa varandra genom att rotera, flytta eller spegla figurerna.

Är figurerna kongruenta?

Klicka på knappen nedan för att kontrollera om figurerna är kongruenta eller inte.

Visar att två figurer är kongruenta genom att överlappa dem.

Exempel

Schackbönder i olika storlekar

Du besöker en utställning med brädspel och märker två likformiga schackbönder i olika storlekar.

De två bönderna har en skalningsfaktor från den större till den mindre bonden på 1,5. Om höjden på den mindre bonden är 5,8 centimeter, vad är höjden på den större bonden?

Skalningsfaktor: 1,5

Höjden på den mindre bonden: 5,8cm

Börja med att skriva ner skalningsfaktorn och höjden på den mindre bonden.

5,8cm * 1,5 = 8,7cm

Multiplicera höjden på den mindre bonden med skalningsfaktorn.

Svar: Den större bonden är 8,7 cm hög.

Exempel

Besöka ett galleri

Du besöker en konstgalleri som presenterar konstverk relaterade till matematik. Ett rum är dedikerat till likformiga och kongruenta former. Bildramarna har bredderna 168 cm respektive 126 cm.

I den mindre ramen syns ett blad som är 30 cm brett. Vad är bladens bredd i den större ramen?

Bredd större ram: 168cm

Bredd mindre ram: 126cm

Bredd på bladet i mindre ramen: 30cm

Börja med att skriva ner måtten som behövs för att räkna ut skalningsfaktorn.

168cm/126cm=4/3

Dela bredden på den större ramen med bredden på den mindre ramen för att få skalningsfaktorn. Förenkla bråket.

30cm * 4/3 = 40cm

Multiplicera bladets bredd i den mindre ramen med skalningsfaktorn.

Svar: Bladet i den större ramen är 40 cm brett.

Teori

Likformiga trianglar

När vi jämför två trianglar kan vi avgöra om de är likformiga genom att titta på deras vinklar. Om motsvarande vinklar i de två trianglarna är lika stora, då är trianglarna likformiga. Det betyder att proportionerna mellan motsvarande sträckor också är lika.

Exempel

Om vi har två trianglar där den ena har vinklarna 40^(∘), 65^(∘) och 75^(∘), och den andra har vinklarna 40^(∘), 65^(∘) och 75^(∘), då är de två trianglarna likformiga. Detta innebär att förhållandena mellan deras motsvarande sidor är desamma.

Exempel

Samband mellan delar av kongruenta figurer

Två kongruenta trianglar används för att skapa ett segel till en modellbåt. En triangel har en höjd på 1,7cm och en bas på 1,1cm.

Den andra triangeln har en hypotenusa på 2cm. Vad är summan av båda trianglarnas omkrets?

Triangel I:

Basen: 1,1cm
Höjden: 1,7cm

Triangel II:

Hypotenusan: 2cm

Trianglarna är kongruenta.

Börja med att skriva ner det du vet.

Hypotenusan i triangeln 1 är 2cm.

Eftersom trianglarna är kongruenta är hypotenusan i den första triangeln 2cm lång.

Omkretsen av triangel I (cm):

1,1 + 1,7 + 2 = 4,8

Addera alla sidor i en av trianglarna för att få dess omkrets.

Total omkrets (cm):

4,8 * 2 = 9,6

Multiplicera omkretsen med 2 eftersom det finns två kongruenta trianglar.

Svar: Summan av båda trianglarnas omkrets ar 9,6cm.

Exempel

Är trianglarna kongruenta eller likformiga?

Avgör om de visade trianglarna är kongruenta eller likformiga.

Större triangel: 11cm, 12,1cm och 9,9cm

Mindre triangel: 2cm, 2,2cm och 1,8cm

Börja med att skriva ner sidornas längder i båda trianglarna.

2,2cm/12,1cm &≈ 0,18 1,8cm/9,9cm &≈ 0,18 2cm/11cm &≈ 0,18

Beräkna förhållandet mellan varje sida i den mindre triangeln och motsvarande sida i den större triangeln.

Alla tre förhållanden är lika. Alltså är trianglarna likformiga.

Om alla sidförhållanden är lika betyder det att trianglarna är likformiga.

Eftersom motsvarande sidor inte är lika långa är trianglarna inte kongruenta.

Jämför längderna på motsvarande sidor. Är de lika långa?

Svar: Trianglarna är likformiga men inte kongruenta.

Teori

Topptriangelsatsen

Betrakta triangeln ABC. Om vi ritar ett linjesegment som är parallellt med sidan BC och skär de två andra sidorna i punkterna D och E, bildas den mindre triangeln ADE.

Triangeln ADE kallas för en topptriangel och är likformig med triangeln ABC. Detta resultat kallas för topptriangelsatsen.

Undersök topptriangelsatsen

Dra i punkten D och undersök hur förhållandena mellan motsvarande sidlängder alltid är desamma.

Exempel

Parallella gator

Kungsgatan och Drottninggatan löper parallellt med varandra. Avståndet mellan Williams hus och Drottninggatan längs Birger Jarlsgatan är 1 110 meter.

Vad är avståndet mellan Williams hus och Drottninggatan längs Strandvägen?

Williams hus till Drottninggatan: 1 110m

Drottninggatan till Kungsgatan: 1 665m

Williams hus till Kungsgatan: 4 440m

Börja med att skriva ner alla avstånd. Du använder dessa för att ställa upp ett förhållande i de likformiga trianglarna.

1 110/1 665+1 110 = x/4 440

Låt x vara avståndet från Drottninggatan till Williams hus längs Strandvägen. Använd topptriangelsatsen för att skriva en ekvation för x.

1 110/2 775 = x/4 440

4 400 * 1 110/2 775 = x

Lös ekvationen för x.

4 928 400/2 775=x

x=1 776

Svar: Avståndet från Williams hus till Drottninggatan längs Strandvägen är 1 776 meter.

Exempel

Beräkna höjd med topptriangelsatsen

Tänk på en triangel med följande mått: AD = 13m, DE = 66m, och BD = 6,5m.

Vad är CE?

AD = 13m

DE = 66m

BD = 6,5m

Börja med att skriva ner sidornas längder. Du använder dessa för att ställa upp ett förhållande med topptriangelsatsen.

13/13+66=6,5/CE

Använd topptriangelsatsen för att skriva en ekvation för CE.

13/79=6,5/CE

13 * CE = 6,5 * 79

Använd korsmultiplikation för att lösa ekvationen för CE.

CE = 6,5 * 79/13

CE = 39,5

Svar: CE = 39,5m

Övning

Övningar i topptriangelsatsen

Bestäm den saknade längden genom att använda topptriangelsatsen. Avrunda svaret till närmaste tiondel.

En applet som visar en triangel med en linje parallell med basen, där uppgiften är att hitta den saknade längden.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Likformighet Åk 9

Uppgifter

Med vetskapen om att trianglarna är likformiga, hitta värdet på x.

<row> <cell left="true" role="sol"> x/3 = 3/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom trianglarna är likformiga kan du skriva en proportion för triangelns motsvarande sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 * x = 3 * 3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd korsmultiplikation för att lösa proportionen för x. </cell> </row>

</expandable>

Med vetskapen om att rektanglarna är likformiga, hitta värdet på x.

<row> <cell left="true" role="sol"> 120/60 = 40/x </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom rektanglarna är likformiga kan du skriva en proportion för triangelns motsvarande sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 120= 60 * 40 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd korsmultiplikation för att lösa proportionen för x. </cell> </row>

</expandable>

Sträckorna AC och DE är parallella. Hitta värdet på x.

<row> <cell left="true" role="sol"> 15/7,5 = 10/x </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom DE är parallell med AC kan du använda topptriangelsatsen för att skriva en proportion för x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 15 = 7,5 * 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd korsmultiplikation för att lösa proportionen för x. </cell> </row>

</expandable>

<row> <cell role="sol"> Svar: Sträckan DE är 5cm lång. </cell> </row>

Är trianglarna likformiga?

<row> <cell left="true" role="sol"> 9/7 ≈ 1,28 och 13/9≈ 1,44 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv proportionen mellan triangelns motsvarande sidor. Eftersom dessa är rätvinkliga trianglar är deras motsvarande sidor deras kateter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 9/7 ≠ 13/9 * </cell> <cell right="true" role="exp"> Proportionerna är inte lika, så trianglarna är inte likformiga. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Nej, trianglarna är inte likformiga. </cell> </row>

Är trianglarna likformiga? Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Den vänstra triangeln har vinklarna 80^(∘), 66^(∘) och 34^(∘).
Den högra triangeln har vinklarna 80^(∘), 66^(∘) och 34^(∘). </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Båda trianglarna har samma tre vinklar, vilket betyder att alla motsvarande vinklar är lika. </cell> <cell right="true" role="exp"> Om två trianglar har samma vinkelmått är de likformiga, även om de har olika orientering. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, trianglarna är likformiga eftersom de har samma tre vinklar. </cell> </row>

Är trianglarna ABC och BDE likformiga? Förklara ditt resonemang.

<row> <cell left="true" role="sol"> AC och DE är parallella. </cell> <cell right="true" role="exp"> De markerade räta vinklarna visar att både AC och DE är vinkelräta mot AB. Två linjer som är vinkelräta mot samma linje är parallella. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Triangel BDE är en topptriangel till triangel ABC. </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom DE är parallell med AC uppfyller triangel BDE villkoren för att vara en topptriangel. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Enligt topptriangelsatsen är trianglarna likformiga. </cell> <cell right="true" role="exp"> När en sida i den mindre triangeln är parallell med en sida i den större triangeln säger topptriangelsatsen att trianglarna är likformiga. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, trianglarna är likformiga. </cell> </row>

Två rektanglar är likformiga. Den längsta sidan i den ena rektangeln är 10cm och den kortaste sidan är 8cm. Den kortaste sidan i den andra rektangeln är 32cm. Hur lång är dess längsta sida?

<row> <cell left="true" role="sol"> x/10 = 32/8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom rektanglarna är likformiga kan du skriva en proportion för de motsvarande sidorna i rektanglarna. Använd en variabel, x, för att beteckna den okända längden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den längsta sidan i den andra rektangeln är 40cm lång. </cell> </row>

I följande diagram är linjerna DE och AB parallella.

Vad är värden på x?

<row> <cell left="true" role="sol"> 56/42 = 40/x </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom linjen DE är parallell med linjen AB kan du använda topptriangelsatsen för att skriva en proportion för x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 56 = 42 * 40 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen med hjälp av korsmultiplikation. </cell> </row>

</expandable>

Likformighet Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan