Läges- och spridningsmått

Vi kallar antalet barn i byn första året för x, och medelantalet klappar första året för y. Sedan gör vi en sammanställning av informationen i uppgiften. Eftersom medelantalet ökade med 25 % skriver vi det med förändringsfaktorn 1,25 framför.

Vi använder oss av formeln för medelvärde, Medelvärde=Summa av värden/Antal värden, för att ställa upp två ekvationer. För år 1 får vi följande ekvation: y=256/x, och för andra året får vi 1,25y=340/x+4. Vi kan nu bilda ett ekvationssystem, som vi kan lösa med t.ex. substitutionsmetoden.

Då vet vi att x=64, dvs. antal barn i byn det första året var 64. Nu kan vi sätta in detta i statistiken för år 2.

Totalt bodde alltså 68 barn i byn andra året.

I lösningen till föregående deluppgift fann vi att och y=4. Det betyder att år 1 var medelantalet klappar/barn 4. Även detta kan vi föra in i statistiken för år 2.

År 2 fick alltså barnen i byn i snitt 5 julklappar var.

Variationsbredden av en mängd värden är det största värdet minus det minsta, vilket innebär att skillnaden mellan den längsta och kortaste delsträckan ska vara 12,5 cm. Vi får välja längden på delsträckorna så vi kan exempelvis låta den kortaste vara 0,2 cm. Det medför att den längsta delsträckan måste vara 0,2 + 12,5 = 12,7cm. Valet är dock inte helt fritt eftersom vi vet att summan av sträckorna måste vara 15 cm. Det måste även finnas tillräckligt mycket längd över till de tre andra sträckorna så att de kan vara längre än den kortaste. Om man väljer 0,2 cm och 12,7 cm till två av sträckorna blir det 15 - 0,2 - 12,7 = 2,1 cm över till de tre andra. Vi kan fördela denna längd hur vi vill på dessa tre sträckor, så länge ingen av dem blir kortare än 0,2 cm. Vi kan t.ex. fördela dem jämt och låta alla tre vara 0,7 cm, eller låta en vara 0,6, den andra 0,7 cm och den tredje 0,8 cm. Ett exempel på en lösning är alltså 0,2cm 0,6cm 0,7cm 0,8cm 12,7cm. Skulle man rita ut detta på sträckan AB får man följande indelning. Ordningen på sträckorna spelar ingen roll, bara deras längder.

Vi vill nu undersöka vad den största och minsta variationsbredden för indelningen kan vara. Om alla sträckor är lika långa blir variationsbredden 0 eftersom det inte är någon skillnad på det största och minsta värdet. Variationsbredden kan inte vara mindre än noll, så det måste vara den undre gränsen. Det sker när sträckorna har längden 155 = 3 cm.

Den största variationsbredden skulle vi få om en sträcka är 15 cm och de övriga är 0 cm. Men alla sträckor måste vara större än noll, så den längsta sträckan måste vara mindre än 15 och de övriga bitarna kan vara mycket korta men inte 0.

Därför måste även variationsbredden vara mindre än 15 cm. Variationsbredden kommer alltså ligga i intervallet 0cm≤ variationsbredd<15cm. Det vill säga, den är minst 0 cm och mindre än 15 cm.

Vi söker fyra tal, som vi i storleksordning kan skriva x, y, z, w. Typvärdet för dessa ska vara 8, vilket innebär att det vanligaste värdet är 8. Det måste därför förekomma minst två gånger. Det skulle kunna finnas fler än två 8:or, vilket ger möjligheterna 8, 8, 8, w x, 8, 8, 8 8, 8, 8, 8. I alla dessa fall är de två talen i mitten 8:or, vilket ger medianen 8 i alla tre fall. Inget av dem kan då vara det fall vi söker eftersom medianen ska vara 7. Det måste alltså finnas två 8:or, vilket ger tre alternativ: 8, 8, z, w x, 8, 8, w x, y, 8, 8. Mittenalternativet kan vi avfärda direkt eftersom det ger medianen 8. I första alternativet är medianen medelvärdet av 8 och z. Eftersom z är större än 8 kan medelvärdet av dem inte bli 7. Då finns det bara ett alternativ kvar, som måste vara det korrekta: x, y, 8, 8. Medianen, alltså medelvärdet av de två mittenvärdena y och 8, ska vara lika med 7. Vi ställer upp det.

Vi känner nu till tre av fyra värden och saknar bara x: x, 6, 8, 8. Medelvärdet av värdena är 6. Vi ställer upp det och löser ut x.

Nu när vi vet att x är 2 har vi all de fyra talen. x=2 y=6 z=8 w=8

Vår strategi för att lösa uppgiften är att anta att en i gruppen faktiskt har fått 85 poäng och sedan se om det kan stämma överens med resten av informationen i uppgiften. Vi börjar med att ställa upp de fem testresultaten i storleksordning och sätta beteckningar på dem.

Man kan inte få över 85 poäng, så det måste vara det högsta resultatet. Eftersom variationsbredden är 40 poäng leder det till att den som har fått lägst resultat har fått 40 poäng mindre, dvs. 45 poäng.

Vi vet att medianen, dvs. värdet i mitten när man ställer dem i storleksordning, är 54 poäng. C har alltså värdet 54.

Låt oss nu undersöka vilka medelresultat som är möjliga, och vi börjar med att undersöka hur stor det kan bli. Vi får det största medelvärdet när alla deltagare har så högt resultat som möjligt. Resultat B kan maximalt vara lika stort som resultatet ovanför och samma gäller för D. Det högsta resultat som B och D kan ha fått är alltså 54 respektive 85 poäng. Vi beräknar detta medelvärde.

Vi går vidare och beräknar den nedre intervallgränsen för medelvärdet. Detta gör genom att sätta in de lägsta möjliga resultaten som B och D kan ha fått. B kan som lägst ha fått 45 poäng och D kan ha fått 54 poäng. Vi använder detta och beräknar medelpoängen för gruppen.

Om någon i gruppen hade fått 85 poäng på provet skulle det alltså medföra att gruppens medelpoäng hade hamnat mellan 56.6 och 64.6 poäng. Från uppgiften vet vi att gruppens faktiska medelvärde var 54 poäng, vilket ligger utanför intervallet. Slutsatsen är alltså att ingen i gruppen kan ha fått 85 poäng.

I huvudlösningen antog vi att det fanns en deltagare med 85 poäng och visade sedan att det ledde till en motsägelse. Man kan också göra en mer direkt lösning, där man använder informationen i uppgiften för att undersöka möjliga maxvärden. Vi börjar på samma sätt, med att ställa upp de fem testresultaten i storleksordning och sätta beteckningar på dem.

Vi vet att medianen, dvs. värdet i mitten när man ställer dem i storleksordning, är 54 poäng. C har alltså värdet 54.

Medelvärdet skall vara 54 poäng för de fem i gruppen. Vi sätter in detta i formeln för medelvärde och löser ut de okända poängvärdena.

Den deltagare som fick högst poäng kallade vi E. Vi vill ta reda på inom vilket intervall som hens poängresultat måste ligga utifrån det vi vet om gruppens resultat. Vi startar med att söka efter den övre gränsen för intervallet. Låt oss ge E värdet x. Eftersom variationsbredden är 40 blir då värdet på A 40 poäng lägre, dvs. x-40.

Vi söker den övre gränsen, dvs. vi vill att E skall få så högt värde som möjligt. För att E:s värde skall bli så stort som möjligt måste de övriga resultaten ha så små värden som möjligt. Det minsta värdet som D kan ha utan att medianen påverkas är 54.

Nu återstår att ge B ett så lågt värde som möjligt. Det minsta värdet B kan ha utan att påverka variationsbredden är samma som A, dvs. x-40.

Vi sätter nu in dessa i sambandet vi tog fram ovan, A+B+D+E=216, och löser ut x.

Om E skulle få 81 poäng hade gruppens medelpoäng blivit högre än 54 och därför måste vi avrunda värdet på x nedåt. Den högsta möjliga poäng som E kan ha är alltså 80. Vi behöver nu inte leta efter nedre gränsen på vårt intervall eftersom 85 ligger ovanför den övre intervallgränsen och är då garanterat utanför. Ingen i gruppen kan alltså ha fått 85 poäng på provet.

Vi känner till ett par enskilda mått som vi kan använda för att sammanfatta data.

De tre första måtten är mått på centrum och det sista — variationsbredd — är ett mått på variabilitet. Med hjälp av vår tabell kan vi se att vi använder termen variationsbredd för att beskriva skillnaden mellan de största och minsta värdena i en datamängd. Låt oss ta en titt på exempeldatamängden. 3, 5, 1, 17, 19, 10 För denna datamängd är variationsbredden 19- 1=18.