{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Sannolikhetslära och statistik

Välj kurs
Matte 1a
Sannolikhetslära och statistik
Läges- och spridningsmått

Läges- och spridningsmått

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Om man har gjort en undersökning och fått en samling mätvärden kan det vara svårt att säga något om det man har undersökt bara genom att titta på alla dessa värden. Då kan det vara bra att använda läges- och spridningsmått. Ett lägesmått sammanfattar alla mätvärden med ett enda representativt värde medan spridningsmått anger hur mätvärdena är spridda kring detta värde.
Regel

Medelvärde

Ett medelvärde är ett lägesmått som anger genomsnittet för ett antal värden. Det beräknas genom att addera alla värden och sedan dela summan med antalet värden.

Medelva¨rde=Summa av va¨rdenAntal va¨rden\text{Medelvärde}=\dfrac{\text{Summa av värden}}{\text{Antal värden}}

Detta kan liknas vid att man samlar alla värdena och sedan delar upp dem i lika stora högar. I figuren nedan illustreras detta genom att blocken från de högre tornen flyttas runt så att alla torn får samma höjd.

Illustrera medelvärde

Återställ


Efter omfördelningen har alla torn höjden 44 vilket är medelvärdet för tornens höjder. Om höjderna betecknas x,x, brukar man ibland beteckna medelvärdet som xˉ.\bar{x}. Tornens medelhöjd kan alltså skrivas som xˉ=4.\bar{x}=4.
Begrepp

Median

Median är ett lägesmått som anger det värde som står i mitten av en datamängd skriven i storleksordning. Om antalet värden är udda är medianen helt enkelt det värde som står i mitten, och om det finns ett jämnt antal värden beräknar man medianen som medelvärdet av de två talen i mitten.

Illustration av median
Under vissa förutsättningar är det bättre att använda median jämfört med andra lägesmått, t.ex. medelvärde. Om ett värde avviker väldigt mycket från resten av datamängden kan det påverka medelvärdet så mycket att det inte längre ger en rättvis bild av värdena. Då kan det vara bättre att använda median, som bara tar mittenvärdena i beaktning.
Begrepp

Typvärde

Typvärdet är det vanligaste värdet i en datamängd. Bland talen 4, 3, 1, 2, 4, 4, 5, 4 4,\, 3,\, 1,\, 2,\,4,\,4,\,5,\,4

är typvärdet 44 eftersom det förekommer flest gånger. Det är ett lämpligt lägesmått om materialet är något annat än siffror, t.ex. färger eller betyg, eller om man bara är intresserad av det vanligaste alternativet, t.ex. vid en omröstning. Om det finns två eller flera observationer som är lika vanliga finns det mer än ett typvärde. Om det däremot finns lika många av alla värden saknar typvärdet mening.
Uppgift

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet för följande datamängd. 9,  5,  7,  2,  5,  4,  9,  8,  9,  1 9,\; 5,\; 7,\; 2,\; 5,\; 4,\; 9,\; 8,\; 9,\; 1

Lösning
Exempel

Medelvärde

För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är 10.10.
xˉ=9+5+7+2+5+4+9+8+9+110\bar{x} = \dfrac{9 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 + 9 + 8 + 9 + 1}{10}
Förenkla termer
xˉ=5910\bar{x} = \dfrac{59}{10}
Beräkna kvot
xˉ=5.9\bar{x} = 5.9
Medelvärdet är 5.9.5.9.
Exempel

Median

För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning: 1,  2,  4,  5,  5,  7,  8,  9,  9,  9. 1,\; 2,\; 4,\; 5,\; 5,\; 7,\; 8,\; 9,\; 9,\; 9. Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs. 55 och 7:7: Median=5+72=6. \text{Median} = \dfrac{5 + 7}{2} = 6. Medianen är 6.6.

Exempel

Typvärde

Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det 99, som förekommer tre gånger.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift


En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?
A. Vilken är din favoritfärg?
B. Hur långt har du till skolan?
C. Hur gammal är du?

Lösning
Exempel

Favoritfärg

Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.

Exempel

Avstånd

Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla sannolikt kommer ange lite olika svar. Medelvärdet är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre lägesmått.

Exempel

Ålder

Förmodligen kommer de flesta vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar någonstans mellan dessa. Om läraren, som är mycket äldre än eleverna, skulle ingå som observation förskjuter det dock medelvärdet uppåt, och då passar median eller typvärde bättre.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Variationsbredd

Lägesmått som medelvärde och median fungerar bra för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. De säger dock inget om hur mätvärden är spridda kring detta värde. Alla ligger kanske nära medelvärdet eller så kan de vara väldigt utspridda. För att beskriva spridningen använder man spridningsmått, t.ex. variationsbredd.

Variationsbredd=Sto¨rsta va¨rde−Minsta va¨rde\text{Variationsbredd}=\text{Största värde}-\text{Minsta värde}

Variationsbredden är alltså den största skillnaden mellan olika mätvärden, och man får det genom att subtrahera det minsta värdet man fick i undersökningen från det största värdet. Det ger en idé om hur stort spann värdena sträcker sig över. Får man t.ex. en stor variationsbredd vet man att det finns värden som skiljer sig mycket från medelvärdet.
Uppgift

Damernas längdhoppsfinal i OS 2016 fick följande resultat. Längderna är i meter.6.95   7.15   7.08   6.79   6.74   6.81.\begin{aligned} 6.95 \ \ \ 7.15 \ \ \ 7.08 \ \ \ 6.79 \ \ \ 6.74 \ \ \ 6.81. \end{aligned} Vad är variationsbredden?

Lösning
Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.
Värdemängd med det största och minsta värdet markerade

Det längsta hoppet var 7.15 meter och det kortaste var 6.74 meter. Det ger variationsbredden7.15−6.74=0.41 meter. 7.15-6.74=0.41 \text{ meter.}

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}