Lådagram

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Kvartil

Medianen delar in ett statistiskt material i två lika stora delar. Kvartiler (från ordet kvart som betyder fjärdedel) delar in ett material i fyra lika stora delar. Kvartilerna är de tre tal som avgränsar delarna, och betecknas Q1,Q2Q_1, \, Q_2 och Q3.Q_3. Exempelvis delas 1212 värden in i fyra delar med 33 stycken i varje.

Kvartil2.svg
Q2Q_2 är alltså bara ett annat namn för medianen. Kvartilerna Q1Q_1 och Q3Q_3 kallas ibland även för undre och övre kvartil och bestäms genom att man bestämmer två "nya medianer" för de värden som är mindre respektive större än medianen.
Regel

Kvartilavstånd

Kvartilavståndet är ett spridningsmått som anger avståndet mellan den undre och övre kvartilen. Man beräknar det genom att subtrahera Q1Q_1 från Q3Q_3.

Kvartilavstnda˚=Q3Q1\text{Kvartilavstånd}=Q_3-Q_1

Uppgift

Morgontrötta klubben har sammanställt data över hur många minuter deras medlemmar brukar snooza på morgonen.20   20   30   30   40   40   45   45   45   50\begin{aligned} 20 \ \ \ 20 \ \ \ 30\ \ \ 30\ \ \ 40\ \ \ 40\ \ \ 45 \ \ \ 45 \ \ \ 45 \ \ \ 50 \end{aligned} Bestäm variationsbredden, kvartilerna och kvartilavståndet.

Lösning

Variationsbredd
Variationsbredden är skillnaden mellan det största och minsta värdet, dvs. 5020=30 min.\begin{aligned} 50-20=30 \text{ min.} \end{aligned}

Kvartiler
Vi börjar med medianen, som är samma sak som Q2.Q_2. Eftersom datamängden består av 1010 värden, dvs. ett jämnt antal värden, måste medianen vara medelvärdet av femte och sjätte värdet.

Det femte värdet är 4040 och det sjätte värdet är också 40.40. Medelvärdet av dessa blir 40+402=40 \frac{40+40}{2}=40 vilket alltså är medianen. Nu kan vi bestämma kvartilerna genom att dela halvorna på mitten. Varje halva innehåller ett udda antal värden så kvartilerna kommer vara de värden i datamängden som delar upp varje halva i två delmängder med två tal i varje. Den undre kvartilen ges av det tredje värdet och den övre kvartilen ges av det åttonde värdet.

Nu ser vi att Q1=30Q_1=30 min. och Q3=45Q_3=45 min.

Kvartilavstånd
Kvartilavståndet är skillnaden mellan övre och undre kvartilen, vilket är Q3Q1=4530=15 min.\begin{aligned} Q_3-Q_1=45-30=15 \text{ min.} \end{aligned}

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Lådagram

För att illustrera spridningen i ett statistiskt material använder man sig ibland av ett så kallat lådagram. I detta kan man läsa av medianen (skrivs Med eller Q2Q_2), kvartiler (Q1Q_1 och Q3Q_3) samt största och minsta värde.

Lådagram mellan värdena 1-10
Ett lådagram ger en grov uppskattning av hur spridd en datamängd är eftersom varje segment av diagrammet innehåller en fjärdedel av värdena. Ju bredare segmenten är desto större spridning är det för den fjärdedelen av materialet.
Metod

Rita ett lådagram

För att kunna rita ett lådagram måste man bestämma fem mått för den datamängd man vill undersöka: största och minsta värdet, medianen samt övre och undre kvartil. Nedanstående datamängd anger poängen för en klass på ett prov.8.5   11   16   12.5   11   15.5   12   713   10.5   5   15   8   9   8   8.5   6   1215   15.5   13.5   7.5   13   10.5   11.5   13.5\begin{aligned} 8.5 \ \ \ 11 \ \ \ 16\ \ \ &12.5\ \ \ 11\ \ \ 15.5\ \ \ 12 \ \ \ 7 \\ 13\ \ \ 10.5\ \ \ 5\ \ \ &15\ \ \ 8\ \ \ 9\ \ \ 8\ \ \ 8.5\ \ \ 6 \ \ \ 12 \\ 15\ \ \ 15.5\ \ \ 13.5\ \ \ &7.5\ \ \ 13\ \ \ 10.5\ \ \ 11.5\ \ \ 13.5 \end{aligned} Vi identifierar de fem måtten för datamängden.

1

Identifiera största och minsta värdet

Först bestämmer man största och minsta värdet. 8.5   11   16   12.5   11   15.5   12   713   10.5   5   15   8   9   8   8.5   6   1215   15.5   13.5   7.5   13   10.5   11.5   13.5\begin{aligned} 8.5 \ \ \ 11 \ \ \ {\color{#009600}{16}}\ \ \ &12.5\ \ \ 11\ \ \ 15.5\ \ \ 12 \ \ \ 7 \\ 13\ \ \ 10.5\ \ \ {\color{#FF0000}{5}}\ \ \ &15\ \ \ 8\ \ \ 9\ \ \ 8\ \ \ 8.5\ \ \ 6 \ \ \ 12 \\ 15\ \ \ 15.5\ \ \ 13.5\ \ \ &7.5\ \ \ 13\ \ \ 10.5\ \ \ 11.5\ \ \ 13.5 \end{aligned} Det minsta värdet är 55 och det största är 16.16. Dessa markeras ovanför en tallinje.

Tallinje och början av lådagram som visar största och minsta värde

2

Bestäm medianen

För att bestämma medianen skriver man talen i storleksordning. Eftersom det finns 2626 värden är medianen medelvärdet av tal nr 1313 och 14.14.5   6   7   7.5   8   8   8.5   8.5   9   10.510.5   11   11   11.5   12   12   12.5   1313   13.5   13.5   15   15   15.5   15.5   16\begin{aligned} 5 \ \ \ 6 \ \ \ 7 \ \ \ 7.5 \ \ \ &8 \ \ \ 8 \ \ \ 8.5 \ \ \ 8.5 \ \ \ 9 \ \ \ 10.5 \\ 10.5 \ \ \ 11 \ \ \ {\color{#0000FF}{11}} \ \ \ &{\color{#0000FF}{11.5}} \ \ \ 12\ \ \ 12 \ \ \ 12.5 \ \ \ 13 \\ 13 \ \ \ 13.5 \ \ \ 13.5 \ \ \ &15 \ \ \ 15 \ \ \ 15.5 \ \ \ 15.5 \ \ \ 16 \end{aligned} Nu kan medianen bestämmas genom att beräkna medelvärdet av värdena 1111 och 11.511.5:11+11.52=11.25, \dfrac{11+11.5}{2}=11.25, Medianen är 11.2511.25. Även denna markeras i lådagrammet.

Påbörjat lådagram med minsta och största värde samt median

3

Bestäm kvartilerna

Medianen delar in materialet i två delar med 1313 tal i varje halva. Den undre kvartilen är mittenvärdet i den första delen, dvs. den sjunde observationen som är 8.5.8.5. Den övre kvartilen beräknas genom att bestämma medianen för den övre halvan, dvs. den tjugonde observationen som är 13.5.13.5. Även kvartilerna markeras i diagrammet och slutligen ritas en låda mellan dem.

Lådagram mellan värdena 5 och 16

För att kunna rita ett lådagram måste man känna till fem olika värden: datamängdens minsta och största värde, undre och övre kvartil samt median. Dessa kan man hitta med hjälp av en räknare.

Digitala verktyg

Lägg in värden i lista

För att beräkna värdena måste man först mata in de värden man vill rita lådagrammet för i räknaren. Det gör man genom att trycka på knappen STAT och sedan välja Edit... i menyn. Där kan man sedan skriva in sina datapunkter i en av listorna, t.ex. lista L1.

miniräknare visar edit
miniräknare visar listor

Om man vill ta bort ett värde kan man göra det med knappen DEL.

Digitala verktyg

Bestäm värden som behövs för att rita ett lådagram

När värdena är inmatade trycker man på STAT igen och går sedan åt höger till CALC-menyn.

miniräknare visar calc

Välj alternativet 1-Var Stats, som används för att beräkna diverse statistiska mått för en datamängd, och tryck på ENTER. Kommandot 1-Var Stats visas då på skärmen och för att köra det, tryck på ENTER en gång till. När resultatet sedan visas, tryck nedåt för att läsa av värdena "minX" (minsta värde), "Q1" (undre kvartil), "Med" (median), "Q3" (övre kvartil) respektive "maxX" (största värde).

miniräknare visar minsta värde största värde median undre kvartil övre kvartil
Använd nu dessa värden för att rita ett lådagram för hand.
Uppgift

Bossebageriet har gjort mätningar av temperaturen på 800800 koppar cappuccino. Lådagrammet visar resultatet i ^\circC.

Lådagram som visar temperatur på cappuccino

En bra cappuccino ska enligt experterna ligga mellan 5555 och 6060 grader. Ungefär hur många av kopparna hade denna temperatur, och vad säger lådagrammet om temperaturspridningen på de koppar som var kallare respektive varmare än så?

Lösning

Antal koppar mellan 55 och 60 grader
I varje del av lådagrammet finns 25%25\,\% av värdena. Det betyder att 50%50 \,\% av värdena ligger "i lådan."

Lådagram som visar temperatur på cappuccino

Den första kvartilen ligger vid 5454 grader och den tredje ligger vid 6060 grader. Det betyder att ungefär 50%50\,\% av de 800800 kopparna hamnade i intervallet 556055-60^\circC: 8002=400. \dfrac{800}{2}=400. Cirka 400400 koppar hade alltså den önskvärda temperaturen.

Kallare och varmare koppar
Det vi kan säga om övriga koppar är att spridningen i temperatur är mycket större bland de 200200 kallaste kopparna (5439=1554-39=15 ^\circC skillnad) än bland de 200200 varmaste kopparna (55^\circC skillnad).

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm median samt undre och övre kvartil för följande datamängder utan att använda räknare.

a

563195685 \quad 6 \quad 3 \quad 1 \quad 9 \quad 5 \quad 6 \quad 8

b

513070121605 \quad 1 \quad 3 \quad 0 \quad 7 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 6 \quad 0

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Polisen ska undersöka hur fort bilisterna kör på en motorväg. Med hjälp av en laserpistol mäter de hastigheten på 100 bilar. Resultatet presenteras i lådagrammet.

Lådagram

Bestäm

a

det minsta och största värdet.

b

variationsbredden.

c

medianen.

d

undre och övre kvartilen.

e

kvartilavståndet.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm median samt undre och övre kvartil för följande datamängder utan räknarens inbyggda statistikverktyg. Kontrollera sedan dina resultat med verktyget.

a

38332630282331402638 \quad 33 \quad 26 \quad 30 \quad 28 \quad 23 \quad 31 \quad 40 \quad 26

b

9592848994848699989095 \quad 92 \quad 84 \quad 89 \quad 94 \quad 84 \quad 86 \quad 99 \quad 98 \quad 90

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett statistiskt material är fördelat så att det har de minsta och största värdena 11 och 10,10, medianen 44 samt undre och övre kvartilerna 22 respektive 7.7. Rita ett lådagram som beskriver denna fördelning.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

2525 elever testar sin reaktionsförmåga. Resultaten i sekunder sammanställs nedan. 0.200.100.220.200.190.140.090.060.210.190.170.240.060.180.180.100.080.220.140.140.100.210.130.130.13\begin{aligned} & 0.20 \quad 0.10 \quad 0.22 \quad 0.20 \quad 0.19 \\ & 0.14 \quad 0.09 \quad 0.06 \quad 0.21 \quad 0.19 \\ & 0.17 \quad 0.24 \quad 0.06 \quad 0.18 \quad 0.18 \\ & 0.10 \quad 0.08 \quad 0.22 \quad 0.14 \quad 0.14 \\ & 0.10 \quad 0.21 \quad 0.13 \quad 0.13 \quad 0.13 \end{aligned} Rita ett lådagram som beskriver resultatet.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lådagrammet visar resultatet från ett stickprov. Stickprovet anger antalet timmar en person sov per natt under en period av 1515 nätter.

Lådagram från nationellt prov i Ma2 2015

Värdena i stickprovet nedan är angivna i storleksordning. Två värden har ersatts med xx och y.y. x,5,6,6,7,7,7,y,8,8,8,8,9,9,13 x,\,5,\,6,\,6,\,7,\,7,\,7,\,y,\,8,\,8,\,8,\,8,\,9,\,9,\,13 Vilka värden har xx och y?y? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT15 2b/2c
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lådagrammen visar hur två lika stora naturklasser presterade på ett engelskprov där maxpoäng var 15.15.

Lådagram

Vilka likheter finns mellan klassernas resultat?

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Under en veckas tid observerade en fågelskådare hur många domherrar som fanns i trädet utanför hans köksfönster vid frukosten. Han antecknade följande observationsvärden: 11378754. 11 \quad 3 \quad 7 \quad 8 \quad 7 \quad 5 \quad 4. Rita ett lådagram som beskriver spridningen.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Innan lansering av sin nya saftsmak, SAFT3000, har ett företag gjort en undersökning där 100100 personer fick betygsätta saftens smak på en skala från 11 till 10.10. Resultatet från undersökningen redovisas i lådagrammet nedan.

Lådagram som visar åsikter om saft


a

Vilket var det lägsta betyget saften fick och vilket var det högsta?

b

Gör en uppskattning av hur många som gav betyget 33 eller högre.

c

Baserat på undersökningen, bör företaget lansera SAFT3000?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många olika samlingar med sju heltalsvärden kan beskrivas av lådagrammet?

Lådagram med tallinje
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bröderna Andreas och Tim har under tre års tid sprungit milen regelbundet och skrivit upp sina tider. De söker sig båda till långdistanslaget för klubben LUBBA. Tyvärr har klubben endast plats för en till löpare i laget. För att huvudcoachen ska fatta ett bra beslut ber han Andreas och Tim att sammanställa sina 100100 senaste lopp i lådagram.

Lådagram

Baserat på lådagrammen tycker coachen att Andreas verkar vara den bästa kandidaten. Han har dels sprungit snabbare i fler lopp än Tim och verkar vara en mer jämn löpare. "Jag vet vad jag får med Andreas" menar coachen. Håller du med, eller går det att resonera på något annat sätt?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rutger vill undersöka sina golfresultat och håller på att mata in antalet slag i stigande storleksordning från 4040 rundor i ett program på sin dator. Datorn kraschar dock och när han startar den igen visar det sig att bara de första 1515 blev sparade. Trots detta tror Rutger att han i alla fall kan bestämma undre kvartilen för resultaten. Går det? Motivera ditt svar.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Edith och Piaf har ett insektspensionat. Under två veckor skriver de ner hur många insekter som kommer och äter av deras goda Puh-honung. De gör sedan en frekvenstabell som visar hur många dagar pensionatet hade ett visst antal besökare.

Antal insekter Antal dagar
11 22
22 33
33 33
44 11
55 11
66 22
77 22

Rita ett lådagram som visar spridningen av antalet insekter som var på besök.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En percentil är ett mått inom statistiken som beskriver det värde som en viss procentuell andel av observationerna i ett statistiskt material befinner sig nedanför. Till exempel anger den tionde percentilen (P10P_{10}) det värde som delar in materialet i två delar, där den undre innehåller 10%10\,\% av observationerna och den övre innehåller 90%.90\,\%.


a

Hur skrivs övre kvartilen som en percentil?

b

Hur bestäms P35P_{35} för en datamängd med 4040 observationer?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På ett företag gör man en undersökning där man tittar på hur många km som kvinnor respektive män promenerar under en vecka. I undersökningen deltog lika många män som kvinnor och resultaten dokumenteras i följande lådagram.

Två lådagram

Bertram får i uppdrag att sammanställa resultatet för både kvinnor och män och skapar nedanstående lådagram.

Lådagram

Chefen på företaget klagar och säger att detta absolut inte kan stämma. Varför kan lådagrammet inte se ut på det här sättet?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}