Lägesmått

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Lägesmått används för att ge en förenklad bild av var ett statistiskt material har sin "tyngdpunkt." Istället för att presentera alla värden från exempelvis en viktundersökning kan man använda lägesmåtten medelvärde, median eller typvärde för att få en uppfattning om vilken vikt de flesta ligger kring.
Regel

Medelvärde

Ett medelvärde är ett lägesmått som anger genomsnittet för ett antal värden. Det beräknas genom att addera alla värden och sedan dela summan med antalet värden.

Medelvrdea¨=Summa av vrdena¨Antal vrdena¨\text{Medelvärde}=\dfrac{\text{Summa av värden}}{\text{Antal värden}}

Detta kan liknas vid att man samlar alla värdena och sedan delar upp dem i lika stora högar. I figuren nedan illustreras detta genom att blocken från de högre tornen flyttas runt så att alla torn får samma höjd.

Illustrera medelvärde

Återställ

Efter omfördelningen har alla torn höjden 44 vilket är medelvärdet för tornens höjder. Om höjderna betecknas x,x, brukar man ibland beteckna medelvärdet som xˉ.\bar{x}. Tornens medelhöjd kan alltså skrivas som xˉ=4.\bar{x}=4.
Begrepp

Median

Median är ett lägesmått som anger det värde som står i mitten av en datamängd skriven i storleksordning. Om antalet värden är udda är medianen helt enkelt det värde som står i mitten, och om det finns ett jämnt antal värden beräknar man medianen som medelvärdet av de två talen i mitten.

Illustration av median
Under vissa förutsättningar är det bättre att använda median jämfört med andra lägesmått, t.ex. medelvärde. Om ett värde avviker väldigt mycket från resten av datamängden kan det påverka medelvärdet så mycket att det inte längre ger en rättvis bild av värdena. Då kan det vara bättre att använda median, som bara tar mittenvärdena i beaktning.

Man kan bestämma olika lägesmått för en datamängd med hjälp av räknare.

Digitala verktyg

Lägg in värden i lista

Man börjar med att trycka på knappen STAT och sedan Edit. Därefter skriver man in samtliga värden i en av listorna, t.ex. lista L1. Det spelar ingen roll i vilken ordning värdena skrivs in.
miniräknare TI82 som visar edit
Digitala verktyg

Bestäm lägesmått

När värdena är inmatade trycker man på STAT igen och väljer CALC-menyn. Där markerar man alternativet 1-Var Stats och trycker på ENTER två gånger. Om man matat in värdena i någon annan lista än L1 väljer man den genom att trycka på 2nd och sedan siffran på listan (t.ex. 2nd + 3).

miniräknare visar calc

Displayen visar då en mängd olika symboler. Den översta symbolen (x med streck ovanför) är medelvärdet, vilket här är 91.391.3.

miniräknare visar medelvärde

För att hitta medianen måste man trycka nedåt till alternativet Med. Där kan man läsa av medianen, som i just detta fall är 12.4.12.4.

miniräknare visar median
Begrepp

Typvärde

Typvärdet är det vanligaste värdet i en datamängd. Bland talen 4,3,1,2,4,4,5,4 4,\, 3,\, 1,\, 2,\,4,\,4,\,5,\,4

är typvärdet 44 eftersom det förekommer flest gånger. Det är ett lämpligt lägesmått om materialet är något annat än siffror, t.ex. färger eller betyg, eller om man bara är intresserad av det vanligaste alternativet, t.ex. vid en omröstning. Om det finns två eller flera observationer som är lika vanliga finns det mer än ett typvärde. Om det däremot finns lika många av alla värden saknar typvärdet mening.
Uppgift

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet för följande datamängd. 9,5,7,2,5,4,9,8,9,1 9,\; 5,\; 7,\; 2,\; 5,\; 4,\; 9,\; 8,\; 9,\; 1

Lösning
Exempel

Medelvärde

För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är 10.10.
xˉ=9+5+7+2+5+4+9+8+9+110\bar{x} = \dfrac{9 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 + 9 + 8 + 9 + 1}{10}
xˉ=5910\bar{x} = \dfrac{59}{10}
xˉ=5.9\bar{x} = 5.9
Medelvärdet är 5.9.5.9.
Exempel

Median

För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning: 1,2,4,5,5,7,8,9,9,9. 1,\; 2,\; 4,\; 5,\; 5,\; 7,\; 8,\; 9,\; 9,\; 9. Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs. 55 och 7:7: Median=5+72=6. \text{Median} = \dfrac{5 + 7}{2} = 6. Medianen är 6.6.

Exempel

Typvärde

Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det 99, som förekommer tre gånger.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift


En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?
A. Vilken är din favoritfärg?
B. Hur långt har du till skolan?
C. Hur gammal är du?

Lösning
Exempel

Favoritfärg

Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.

Exempel

Avstånd

Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla sannolikt kommer ange lite olika svar. Medelvärdet är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre lägesmått.

Exempel

Ålder

Förmodligen kommer de flesta vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar någonstans mellan dessa. Om läraren, som är mycket äldre än eleverna, skulle ingå som observation förskjuter det dock medelvärdet uppåt, och då passar median eller typvärde bättre.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

På ett företag frågade man de anställda hur många gånger i veckan de tränar. Bestäm typvärde, medelvärde och median från frekvenstabellen.

Träningsdagar 00 11 22 33 44 55 66 77
Frekvens 55 1919 2727 2222 1515 44 44 11
Lösning
Exempel

Typvärde

Typvärdet är det vanligaste värdet, så det är bara att avläsa vilket svarsalternativ som har högst frekvens. I det här fallet har flest personer svarat att de tränar 22 dagar i veckan, vilket då är typvärdet.

Exempel

Medelvärde

För att beräkna medelvärdet ska vi summera det totala antalet träningsdagar och sedan dela med antal anställda. Vi vet till exempel att 2727 personer tränar 22 dagar i veckan, vilket ger 2272 \cdot 27 dagar, så vi kan beräkna det totala antalet träningsdagar genom att multiplicera träningsdagar med motsvarande frekvens och summera. 50+191+272+223+154+45+46+17=250.\begin{aligned} 5 \cdot 0 &+ 19 \cdot 1 + 27 \cdot 2 + 22 \cdot 3 + 15 \cdot 4 \\ &+ 4 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 1 \cdot 7 = \mathbf{250}. \end{aligned} Antal anställda är summan av frekvenserna:5+19+27+22+15+4+4+1=97. 5 + 19 + 27 + 22 +15 + 4 + 4 + 1 = \mathbf{97}. Det finns alltså 9797 anställda på företaget. Nu delar vi det totala antalet träningsdagar med antalet anställda för att få genomsnittet: xˉ=250972.6 dagar/pers. \bar{x} = \dfrac{250}{97} \approx 2.6 \text{ dagar/pers}.

Exempel

Median

För att hitta medianen brukar man skriva värdena i storleksordning och läsa av det som står i mitten. Nu finns det väldigt många värden så istället för att skriva ut alla, räknar vi vilket värde i ordningen som står i mitten. Om värdena skrivs i ordning får man först 55 nollor, följt av 1919 ettor, 2727 tvåor osv. 0,0,0,0,0,1,1,1,1, 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\ldots Det finns ett udda antal värden (97),(97), så det finns ett mittenvärde. Det betyder att 9696 värden ligger kring medianen. Eftersom medianen är i mitten finns det lika många tal på varje sida, dvs. 962=48\frac{96}{2}=48 stycken. Medianen är då tal nummer 49.49. De fem första talen är nollor och följda av 1919 ettor så att man kommer upp till nummer 24.24. Tvåorna lägger på ytterligare 2727 tal, upp till och med 5151.

Värde \ldots 22 22 22 22 22 33 \ldots
Nummer \ldots 4747 4848 4949 5050 5151 5252 \ldots

Det 4949:e talet är 22 så medianen är 22 träningsdagar.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I klass 88F ska några av eleverna på utbyte till Tyskland. Deras längder mäts inför att de ska skaffa pass.

Namn Längd (cm)
Anne 153153
Benjamin 144144
Claudia 174174
Danielle 156156
Eilert 176176
Filip 160160
a

Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att beskriva elevernas längder?

b

Beräkna detta eller dessa lägesmått. Kontrollera dina svar med räknaren.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tabellen visar resultatet från frågesport som en gymnasieklass var med i. Vad var klassens medelpoäng?

Poäng Antal elever
55 44
44 33
33 44
22 11
11 22
00 11
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Dogge har tagit tid på sig själv när han sprungit genvägen över fotbollsplanen. Han har fått följande tider i sekunder: 20.1, 19.3, 19.7, 19.5, 18.9. 20.1,\ 19.3,\ 19.7,\ 19.5,\ 18.9.

a

Beräkna Dogges medelvärde och median.

b

Nästa gång han springer har han jättemycket träningsvärk i benen, så han får tiden 31.631.6 s. Hur mycket ökar det medelvärdet respektive medianen?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En skolas elever har i en utvärdering fått sätta betyg på skolmaten. Betygen sattes på en skala från 11 till 55, där 11 var sämst och 55 var bäst.

Betyg Antal elever
55 4343
44 5555
33 5656
22 2727
11 3434

Vilket var typvärdet på elevernas skolmatsbetyg?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en arbetsplats har de anställda följande månadslöner.

Antal Månadslön
1 4000040\,000 kr
3 2400024\,000 kr
5 2200022\,000 kr
3 2000020\,000 kr


a

Beräkna medellönen för de anställda.

b

Beräkna medianlönen.

c

Ger medelvärdet eller medianen en mer rättvisande bild av löneläget på arbetsplatsen? Motivera ditt svar.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett klassrum sitter 2626 elever vars medelålder är 16.516.5 år och lyssnar på sin lärare. Vad är den totala åldern i rummet om läraren är 3434 år?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De fem talen 6,1,x,96,\,1,\,x,\,9 och 44 är alla heltal.

a

Vilka värden får medianen för olika värden på x?x? Motivera.

b

För vilka värden på xx får de fem talen samma värde på median och medelvärde?

Nationella provet VT10 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nadim har fem sköldpaddor hemma. De två yngsta är lika gamla, sedan skiljer det 55 år till varje nästkommande sköldpaddas ålder. Sköldpaddornas medelålder är 1414 år. Vad är deras medianålder?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm medelvärde och median för talen

45,46,47,48,49.\begin{aligned} 45,\, 46,\, 47,\, 48,\, 49. \end{aligned}

b

Visa att medelvärdet av fem på varandra följande heltal alltid är lika med medianen.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har under en veckas tid antecknat vilken temperatur din kökstermometer visade kl. 77 på morgonen. Tyvärr spillde du kaffe över måndagen och tisdagen.

temperaturanteckningar med kaffefläck

Vilka temperaturer var det veckans två första dagar?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en origamikurs är medelåldern 4747 år bland de 1616 deltagarna. Ett tillfälle skolkar Julio, 21,21, för att plugga till en tenta. Vad blir den nya medelåldern?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När talet 77 läggs till en samling värden ändras inte medelvärdet. Visa att medelvärdet är 7.7.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Medelåldern på fem anställda i en sportaffär var 2424 år. En kvinna på 3636 år anställs som butiksföreståndare. Vad blir därefter genomsnittsåldern i sportaffären?

Nationella provet VT05 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en nattklubb med 1313 personer är medelåldern 3030 år. Om åldersgränsen är 1818 år, hur många fler personer måste minst komma in på nattklubben för att medelåldern ska bli under 2525 år?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har de olika heltalen 3,8,1,5,10,x3 \, ,8 \, ,1 \, ,5 \, ,10 \, ,x och y.y. Du vet att 6<x<y.6 \lt x \lt y. Vad kan medianen vara?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett år delade Tomten ut 256 julklappar till barnen i en by i Norrbotten. Till nästa år anställdes fler tomtenissar, och då tillverkades 340 klappar. Det gjorde att medelantalet klappar/barn ökade med 25%, trots att antalet barn i byn ökat med 4. Hur många barn fanns det i byn det andra året och hur många klappar fick de i genomsnitt?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Fyra tal har medelvärde 6,6, median 77 och typvärde 8.8. Vilka är de fyra talen?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Alice och Moa diskuterar medelvärde och median. Alice påstår: ”Medelvärdet av tre på varandra följande heltal är alltid lika med talens median." Moa svarar: ”Nej, det gäller inte alltid.” Vem har rätt, Alice eller Moa? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT12 kurs 2b/2c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}