När vi multiplicerar ett tal med sig självt, till exempel 4 * 4, säger vi att vi kvadrerar talet 4. Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga 4 i kvadrat är 16. Detta skrivs som:

4^2 = 16

Om vi vill hitta vilket tal som multiplicerat med sig själv ger ett visst värde, använder vi kvadratroten.

Tänk dig en kvadrat med arean 16cm^2. Hur lång är kvadratens sida?

Vi söker ett tal som uppfyller att det multiplicerat med sig självt blir 16.

Det talet är 4cm, eftersom 4cm * 4cm = 16cm^2.

Därför säger vi att kvadratroten ur 16 är 4. Detta skrivs som:

sqrt(16) = 4

Ett kortare sätt att säga det är att roten ur 16 är 4. Det innebär att om vi kvadrerar 4, får vi tillbaka 16.

Exempel

Beräkning av kvadratrötter

Beräkna sqrt(64).

sqrt(64)= 8

Kvadratroten ur 64 är det tal som multipliceras med sig självt och blir 64. Eftersom 8 * 8 = 64, måste sqrt(64) = 8.

Svar: 8

Beräkna sqrt(121) + sqrt(81).

sqrt(121) + sqrt(81) =

=11 + 9 = 20

Kvadratroten ur 121 är 11 eftersom 11 * 11 = 121. Kvadratroten ur 81 är 9 eftersom 9 * 9 = 81. När du adderar dessa får du 20.

Svar: 20

Exempel

Tomatfält i hörnet

Jafars pappa odlar tomater och majs i sin trädgård. Båda fälten är kvadratiska, och tomatåkern ligger i ett hörn av majsåkern.

Tomatåkern är 49 kvadratmeter och resten av majsåkern är 95 kvadratmeter. Vad är värdet på x i diagrammet?

Tomatfältet: 49 m^2

Majsfältet: 95m^2

Du utgår från de två givna areorna.

Total area:

49m^2+95m^2 = 144 m^2

Du adderar areorna för att få hela den stora kvadratens area.

Sidlängder:

Lilla kvadraten: sqrt(49) = 7 m

Stora kvadraten: sqrt(144) = 12 m

Kvadratrötterna ger sidlängderna eftersom en kvadrats area är sidan gånger sig själv.

Skillnad i längd:

x = (12 - 7) m = 5 m

x är skillnaden mellan sidlängden på den stora och den lilla kvadraten.

Svar: 5 m

Teori

Räkna med kvadratrötter

När vi multiplicerar kvadratrötter kan vi ibland skriva om uttrycket på ett enklare sätt. Låt oss börja med att undersöka vad som händer när vi multiplicerar två kvadratrötter.

sqrt(16) * sqrt(9)=

Eftersom sqrt(16) = 4 och sqrt(9) = 3, får vi att:

= 4 * 3 = 12

Men vi kan också skriva 12 = sqrt(144) = sqrt(16 * 9).

sqrt(16) * sqrt(9) = sqrt(16 * 9).

Detta leder oss till en viktig regel.

Produkt av kvadratrötter

sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a * b)

Där a≥ 0 och b≥ 0.

Nu tittar vi på division av kvadratrötter på samma sätt.

sqrt(36)/sqrt(9)=

Eftersom sqrt(36) = 6 och sqrt(9) = 3, får vi att:

= 6/3 = 2

Men vi kan också skriva 2 = sqrt(4) = sqrt(36/9).

sqrt(36)/sqrt(9) = sqrt(36/9).

Detta ger oss en annan viktig regel.

Kvot av kvadratrötter

sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a/b)

Där a≥ 0 och b> 0.

Exempel

Beräkna arean av en tomt

En investerare köpte en tomt intill två kvadratiska tomter som hon redan äger. De skuggade områdena visar investerarens mark.

Den mindre kvadraten har en area på 160 kvadratmeter, och den större kvadraten har en area på 360 kvadratmeter. Hitta arean av den nya tomten.

Mindre kvadratens: 160m^2

Större kvadratens: 360m^2

Du börjar med areorna för de två kvadraterna som rektangeln gränsar till.

Sidlängder:

sqrt(160)m och sqrt(360)m

Kvadratrötterna ger sidlängderna eftersom en kvadrats area är sidan gånger sig själv.

Rektangelns area:

A = b * h

Använd formeln för arean av en rektangel för att hitta arean av marken.

A =sqrt(160) * sqrt(360)m^2 =

Ersätt b = sqrt(160) m och h=sqrt(360)m

=sqrt(160 *3 60)m^2=

Produkten av två kvadratrötter kan skrivas som kvadratroten av produkten.

= sqrt(57 600)m^2 = 240 m^2

Kvadratroten av 57 600 är 240, vilket ger rektangelns area.

Svar: 240m^2

Exempel

Hitta hypotenusan i en rätvinklig triangel

Pythagoras sats gäller för rätvinkliga trianglar. I en rätvinklig triangel ABC är ∠ C = 90^(∘). Sidorna mot hörnen A, B och C betecknas med a, b respektive c, där c är hypotenusan (sidan mittemot den räta vinkeln).

Hypotenusans längd c beräknas med formeln c = sqrt(a^2 + b^2).

Hitta triangelns hypotenusa.

a = .1 /2. cm

b = .2 /3. cm

Formel: c = sqrt(a^2 + b^2)

Du börjar med att skriva ner sidornas värden och formeln för hypotenusan.

c = sqrt(( 1/2 )^2 + ( 2/3 )^2) cm =

Ersätt a = 1/2 och b= 2/3

= sqrt(1/4+4/9) cm =

När ett tal kvadreras multiplicerar du talet med sig själv.

=sqrt(9/36+16/36) cm =

=sqrt(25/36) cm=

Förläng 1/4 med 9 och 4/9 med 4.

=sqrt(25)/sqrt(36)cm =5/6 cm

Kvadratroten av kvoten av två tal är lika med kvoten av kvadratrötterna av talen.

Svar: 5/6cm

Övning

Beräkna uttryck med kvadratrötter

Använd rätt regler för att beräkna kvadratrotsuttryck, i huvudet eller med räknare.

Beräkna och avrunda vid behov till två decimaler.

Ett applet som genererar och visar uttryck med kvadratrötter

Teori

Närmevärden till kvadratrötter

Hur lång är sidan av en kvadrat med arean 2cm^2? Svaret är sqrt(2)cm, men hur kan vi uttrycka det som ett ungefärligt tal?

Testa värden

Vi vet att sidan är längre än 1cm, eftersom 1cm * 1cm = 1cm^2, och kortare än 2cm, eftersom 2cm * 2cm = 4cm^2.

Låt oss prova oss fram:

1,3 * 1,3 = 1,69 → för litet

1,6 * 1,6 = 2,56 → för stort

1,4 * 1,4 = 1,96 → ganska nära

På detta sätt kan vi fortsätta att prova oss fram, men vi kommer aldrig att få ett exakt värde. Antalet decimaler är oändligt.

Ett exakt sätt att uttrycka sidans längd är sqrt(2)cm. Med hjälp av en miniräknare får vi att

sqrt(2) = 1,414213562 ...

Vi kan avrunda detta värde till ett lämpligt antal decimaler, till exempel sqrt(2) ≈ 1,41.

Kom ihåg

Kvadratrötter kan vara antingen rationella tal eller irrationella tal.

Till exempel är sqrt(4) ett rationellt tal, eftersom sqrt(4) = 2.

Däremot är sqrt(2) ett irrationellt tal, eftersom det har oändligt många decimaler som inte är periodiska och därför inte kan uttryckas som ett bråk.

Exempel

Närmevärden av kvadratrötter

Mellan vilka två tal ligger sqrt(30)?

sqrt(30)

Tänk på tal nära 30 som är kvadrater av några tal.

5 < sqrt(30) < 6

Till exempel 25 och 36.

25 är kvadraten av 5, och 36 är kvadraten av 6.

Svar: sqrt(30) ligger mellan de på varandra följande talen 5 och 6.

Uppskatta värdet av sqrt(2,5) till en decimal.

1,5^2 = 2,25

1,7^2 = 2,89

1,6^2 = 2,56

Testa värden med en decimal.

sqrt(2,5) ligger mellan 1,5 och 1,6.

2,5 - 2,25 = 0,25

2,56 - 2,5 = 0,06 ✓

Kolla vilket som är närmast.

1,6 ligger närmare sqrt(2,5).

Med en räknare kan man se att sqrt(2,5) = 1,581138... . Om man avrundar till en decimal får man sqrt(2,5) ≈ 1,6. Alltså stämmer ditt svar.

Svar: sqrt(2,5) ≈ 1,6

Övning

Estimera kvadratrötter

Estimera den givna kvadratroten till närmaste heltal utan att använda räknare.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Kvadrater och kvadratrötter Åk 9

Uppgifter

Beräkna varje kvadratrot.

sqrt(81)

sqrt(36)

sqrt(169)

sqrt(196)

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(81) = sqrt(9 * 9) = sqrt(9^2) = 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av ett tal är det värde som, när det multipliceras med sig självt, ger det ursprungliga talet. Eftersom 9 * 9 = 81, är kvadratroten av 81 lika med 9. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(36) = sqrt(6 * 6) = 6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 6 * 6 = 36, är sqrt(36) lika med 6. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(36) = sqrt(4 * 9) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan skriva 36 som produkten av 4 och 9. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(4) * sqrt(9) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av en produkt är lika med produkten av kvadratrötterna, alltså sqrt(4 * 9) = sqrt(4) * sqrt(9). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 2 * 3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 2 * 2 = 4 är sqrt(4) = 2. På samma sätt, eftersom 3 * 3 = 9 är sqrt(9) = 3. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> = 6 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(169) = sqrt(13 * 13) = 13 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 13 * 13 = 169, är sqrt(169) lika med 13. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(196) = sqrt(14 * 14)= 14 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 14 * 14 = 169, är sqrt(196) lika med 14. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(194) = sqrt(4 * 49) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan skriva 196 som produkten av 4 och 49. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(4) * sqrt(49) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av en produkt är lika med produkten av kvadratrötterna, alltså sqrt(4 * 49) = sqrt(4) * sqrt(49). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 2 * 7 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 2 * 2 = 4 är sqrt(4) = 2. På samma sätt, eftersom 7 * 7 = 49 är sqrt(49) = 7. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> = 14 </cell> </row>

Beräkna.

3 * sqrt(9)

sqrt(49/121)

sqrt(25)/50

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 * sqrt(9) = 3 * 3 = 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 3 * 3 = 9 är sqrt(9) lika med 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(49/121) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det givna uttrycket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(49)/sqrt(121) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av en kvot är lika med kvoten av kvadratrötterna, alltså: sqrt(49/121) = sqrt(49)/sqrt(121). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 7/11 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 7 * 7 = 49 är sqrt(49) = 7. På samma sätt, eftersom 11 * 11 = 121 är sqrt(121) = 11. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(25)/50 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det givna uttrycket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 5/50 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 5 * 5 = 25 är sqrt(25) lika med 5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 1/10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan förkorta bråket med 5. </cell> </row>

Beräkna varje kvadratrot.

sqrt(225)

sqrt(324)

sqrt(1,96)

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(225)= </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det givna uttrycket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(9 * 25) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan skriva 225 som produkten av 9 och 25. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(9) * sqrt(25) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av en produkt är lika med produkten av kvadratrötterna, alltså sqrt(9 * 25) = sqrt(9) * sqrt(25). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 3 * 5 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 3 * 3 = 9 är sqrt(9) = 3. På samma sätt, eftersom 5 * 5 = 25 är sqrt(25) = 5. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> = 15 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(324)= </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det givna uttrycket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(9 * 36) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Observera att 324=9 * 36. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(9) * sqrt(36) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av en produkt är lika med produkten av kvadratrötterna, alltså sqrt(9 * 36) = sqrt(9) * sqrt(36). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 3 * 6 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 3 * 3 = 9 är sqrt(9) = 3. På samma sätt, eftersom 6 * 6 = 36 är sqrt(36) = 6. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> = 18 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(1,96) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det givna uttrycket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =sqrt(196/100) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Talet 1,96 kan skrivas som ett bråk med nämnaren 100. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(196)/sqrt(100) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av en kvot är lika med kvoten av kvadratrötterna, alltså: sqrt(196/100) = sqrt(196)/sqrt(100). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 14/10 = 1,4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 14 * 14 = 196 är sqrt(196) = 14. På samma sätt, eftersom 10 * 10 = 100 är sqrt(100) = 10. </cell> </row>

Skatta de givna kvadratrötterna till närmaste heltal.

sqrt(15)

sqrt(78)

sqrt(29)

<row> <cell left="true" role="sol"> 9 < 15 < 16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att identifiera närliggande kvadrattal. Talet 15 ligger mellan 9 och 16, som är kvadrattal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(9) < sqrt(15) < sqrt(16) </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 15 ligger mellan 9 och 16, ligger dess kvadratroten mellan kvadratroten av 9 och kvadratroten av 16. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 16-15 = 1
15-9 = 6
sqrt(15)≈ 4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 15 är närmare 16 än 9, kommer sqrt(15) vara närmare 4 än 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 64 < 78 < 81 </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta de närmaste kvadrattalen. 78 ligger mellan 64 och 81. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(64) < sqrt(78) < sqrt(81) </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av 78 är mellan kvadratrötterna av 64 och 81 eftersom 78 ligger däremellan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 81-78 = 3
78-64 = 14
sqrt(78)≈ 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 78 är närmare 81 än 64, kommer sqrt(78) vara närmare 9 än 8. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 25 < 29 < 36 </cell> <cell right="true" role="exp"> Talet 29 ligger mellan 25 och 36, som är kvadrattal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(25) < sqrt(29) < sqrt(36) </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av 29 är mellan kvadratrötterna av 25 och 36 eftersom 29 ligger däremellan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 29-25 = 4
36-25 = 7
sqrt(29)≈ 5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 29 är närmare 25 än 36, kommer sqrt(29) vara lite mer än 5. </cell> </row>

Förenkla.

sqrt(16) + sqrt(49)

6^2/sqrt(25)

sqrt(176)

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(16) + sqrt(49) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 4 + 7 = 11 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 4 * 4 = 16, är sqrt(16) lika med 4. Eftersom 7* 7 = 49, är 49 lika med 7.</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6^2/sqrt(25)= </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 36/5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 6^2 betyder 6 * 6, är det lika med 36, och eftersom 5 * 5 = 25, är sqrt(25) = 5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(176)= </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det givna uttrycket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(16 * 11) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan skriva talet under kvadratroten som en produkt av två faktorer: 16 och 11. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(16) * sqrt(11) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av en produkt är lika med produkten av kvadratrötterna: sqrt(16 * 11) = sqrt(16) * sqrt(11). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 4 sqrt(11) </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom sqrt(16) = 4, kan du skriva sqrt(16) * sqrt(11) som 4sqrt(11). Observera att sqrt(11) inte kan förenklas mer. </cell> </row>

Erik säger att sqrt(72) är ett tal mellan 8 och 9. Hur kan han veta det utan att använda miniräknare?

<row> <cell left="true" role="sol"> 64 < 72 < 81 </cell> <cell right="true" role="exp"> 64 är den största kvadraten som är mindre än 72, och 81 är den minsta kvadraten som är större än 72. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(64) < sqrt(78) < sqrt(81) </cell> <cell right="true" role="exp"> Nu kan du jämföra kvadratrötter av talen. sqrt(72) är mellan sqrt(64) och sqrt(81) eftersom 64 < 72 < 81 </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Eftersom 64 < 72 < 81 ligger sqrt(78) mellan sqrt(64)= 8 och sqrt(81) =9. </cell> </row>

På tallinjen nedan finns punkterna A, B, C och D.

Matcha varje punkt med dess tillhörande kvadratrot.

<row> <cell left="true" role="sol"> 25 < 28 < 36
5 < sqrt(28) < 6
sqrt(28) → B </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att identifiera närliggande kvadrattal. Talet 28 ligger mellan 25 =5^2 och 36=6^2, så sqrt(28) är mellan 5 och 6. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 36 < 39 < 49
6 < sqrt(39) < 7
sqrt(39) → D </cell> <cell right="true" role="exp"> Talet 39 ligger mellan 36 =6^2 och 49=7^2, så sqrt(39) är mellan 6 och 7. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 49 < 51 < 64
7 < sqrt(51) < 8
sqrt(51) → A </cell> <cell right="true" role="exp"> 51 är mellan 49 och 64, så sqrt(51) är mellan 6 och 7. Eftersom 51 ligger närmare 49 än 64, är sqrt(51) närmare 7.
</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 49 < 62 < 64
7 < sqrt(62) < 8
sqrt(62) → C </cell> <cell right="true" role="exp"> 62 ligger mellan 49 och 64, så sqrt(62) är nära 8 eftersom 62 är nära 64. </cell> </row>

Räkna ut värdet och avrunda till hundradelar vid behov. Miniräknare kan användas.

sqrt(6,25)

7 - sqrt(8)

sqrt(225)/5

sqrt(42) - sqrt(11)

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(6,25) = sqrt(625/100) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva decimaltalet som ett bråk. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = sqrt(625/100) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvadratroten av en kvot är lika med kvoten av kvadratrötterna, alltså: sqrt(625/100) = sqrt(625)/sqrt(100) </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 25/10 = 2,5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 25 * 25 = 625, är sqrt(625) lika med 25. På samma sätt är sqrt(100)=10 eftersom 10* 10=100. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7 -sqrt(8)= 4 ,171 ... ≈ 4,17 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan beräkna värdet av uttrycket direkt på din miniräknare. Avrunda sedan till två decimaler. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(225)/5 = 15/5 = 3 </cell> <cell right="true" role="exp"> 15 * 15 = 225, alltså är sqrt(225)=15. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(42) -sqrt(11)= 3,164 ... ≈ 3,16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan beräkna värdet av uttrycket direkt på din miniräknare. Avrunda sedan till två decimaler. </cell> </row>

Kvadrater och kvadratrötter Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan