Förklaring

Hur slår man ihop lösningsmängder?

Lösningarna till en trigonometrisk ekvation kan alltid uttryckas på fler än ett sätt. Ibland kan däremot svaret förenklas genom att flera lösningsmängder slås ihop till en. Exempelvis kan lösningarna till någon ekvationen beskrivas av lösningsmängderna v=-45+n360v=45+n360v=135+n360v=225+n360.\begin{aligned} v &= \text{-}45^\circ + n\cdot 360^\circ \\ v &= 45^\circ + n\cdot 360^\circ \\ v &= 135^\circ + n\cdot 360^\circ \\ v &= 225^\circ + n\cdot 360^\circ. \end{aligned} Men att lista lösningarna i fyra olika grupper är lite otympligt. Om man markerar dessa i enhetscirkeln kan man se att det är 9090^\circ mellan varje.

Just eftersom det är samma avstånd, 90,90^\circ, mellan varje par av intilliggande lösningar räcker det med ett enda uttryck för att beskriva alla lösningar: v=45+n90. v=45^\circ + n\cdot 90^\circ.

Förklaring

När kan lösningsmängder slås ihop?

Det kan vara svårt att avgöra när lösningsmängder kan slås ihop. Ett sätt är att lista några lösningar och använda avståndet mellan intilliggande vinklar. Anta t.ex. att man löst en ekvation och fått lösningsmängderna v=0+n180v=30+n180v=90+n180v=150+n180.\begin{aligned} v &= 0^\circ + n\cdot 180^\circ \\ v &= 30^\circ + n\cdot 180^\circ \\ v &= 90^\circ + n\cdot 180^\circ \\ v &= 150^\circ + n\cdot 180^\circ. \end{aligned} Genom att sätta in några olika nn i formlerna blir det tydligare vilka vinklar som beskrivs.

nn 0{\color{#0000FF}{0}} 1{\color{#0000FF}{1}}
0+n1800^\circ + n\cdot 180^\circ 0+0180=00^\circ + {\color{#0000FF}{0}}\cdot 180^\circ = 0^\circ 0+1180=1800^\circ + {\color{#0000FF}{1}}\cdot 180^\circ = 180^\circ
30+n18030^\circ + n\cdot 180^\circ 30+0180=3030^\circ + {\color{#0000FF}{0}}\cdot 180^\circ = 30^\circ 30+1180=21030^\circ + {\color{#0000FF}{1}}\cdot 180^\circ = 210^\circ
90+n18090^\circ + n\cdot 180^\circ 90+0180=9090^\circ + {\color{#0000FF}{0}}\cdot 180^\circ = 90^\circ 90+1180=27090^\circ + {\color{#0000FF}{1}}\cdot 180^\circ = 270^\circ
150+n180150^\circ + n\cdot 180^\circ 150+0180=150150^\circ + {\color{#0000FF}{0}}\cdot 180^\circ = 150^\circ 150+1180=330150^\circ + {\color{#0000FF}{1}}\cdot 180^\circ = 330^\circ

Lösningarna kan nu placeras i storleksordning, men hur många uttryck behövs för att beskriva alla? ,0,30,90,150,180,210,270,330,360, \ldots,0^\circ,30^\circ,90^\circ,150^\circ,180^\circ,210^\circ,270^\circ,330^\circ,360^\circ,\ldots Man kan tänka sig varje lösning som ett näckrosblad, och att grodor hoppar från blad till blad. Anta att en groda kan börja hoppa från vilket blad som helst, men att den alltid måste hoppa lika långt. Alla de näckrosblad en viss groda kan hoppa till representerar då en lösningsmängd. Hur många grodor behövs för att alla näckrosblad ska kunna nås utan att någon groda riskerar att falla i vattnet?

Why losningsmangd 1a.svg

För varje groda ska en startpunkt och en hopplängd väljas. Eftersom det längsta avståndet mellan två intilliggande blad är 6060^\circ får ingen hopplängd vara kortare än så — då trillar grodan i vattnet däremellan. Vi provar därför att låta en groda börja på 3030^\circ och hoppa 6060^\circ i taget. Den kan då nå de markerade näckrosbladen.

Why losningsmangd 2a.svg

Grodan trillar inte i vattnet någonstans, så v=30+n60v = 30^\circ + n\cdot 60^\circ är en lösningsmängd. Men som bilden visar kommer grodan inte åt lösningarna 0,0^\circ, 180180^\circ och 360.360^\circ. Dessa är dock jämnt utspridda med 180180^\circ mellan intilliggande par, så dessa kan nås av en groda som hoppar 180180^\circ i taget.

Why losningsmangd 3a.svg

Med dessa grodval trillar ingen i vattnet och alla näckrosblad nås. De fyra lösningsmängderna kan alltså förenklas till dessa två: v=30+n60v=n180.\begin{aligned} v &= 30^\circ + n\cdot 60^\circ \\ v &= n\cdot 180^\circ. \end{aligned}

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}