Regel

Samband mellan sträcka, hastighet och acceleration

Om man bestämmer en primitiv funktion kan man få tillbaka funktionen genom att derivera. Ett konkret exempel på funktioner som hänger ihop på detta sätt är sträcka s(t),s(t), hastighet v(t)v(t) och acceleration a(t).a(t).

samband sträcka hastighet acceleration

Man kan utgå från en hastighetsfunktion v(t)v(t) för att illustrera principen. Om man deriverar v(t)v(t) får man en funktion som beskriver hur hastigheten förändras, vilket är samma sak som acceleration a.a. Om v(t)v(t) istället integreras kan det tolkas som arean under grafen på ett visst intervall, dvs. som summan av rektanglar med arean A=hjdo¨bredd=vt,A=\text{höjd} \cdot \text{bredd}=v \cdot t, och är därför detsamma som en sträcka ss (eftersom s=vts=v\cdot t).

samband sträcka hastighet acceleration

Sambanden mellan de olika begreppen sammanfattas i figuren nedan.

samband sträcka hastighet acceleration

Regel

Sträcka, hastighet och acceleration


Regel

Samband mellan sträcka och hastighet

Sambanden mellan begreppen sträcka och hastighet, s(t)=v(t)s(t)=v(t) dt, s'(t)=v(t) \quad \Leftrightarrow \quad s(t)=\int v(t)\text{ d}t, kan tolkas som: "hastigheten är derivatan av sträckan" och "sträckan är integralen av hastigheten". Man kan motivera detta med ett exempel. Om en bil kör med konstant hastighet 2020 m/s under t1t_1 sekunder kan man med svtsvt-formeln beräkna sträckan som bilen färdats under denna tid: s=20t1 meter. s=20\cdot t_1 \text{ meter.} Samma samband kan man få genom att beräkna arean under grafen till v(t)v(t) från 00 till t1t_1 sekunder.

Arean under grafen, 20t1,20t_1, motsvarar alltså sträckan som bilen kör. Och eftersom arean även kan tolkas som integralen av v(t)v(t) från 00 till t1t_1 är sträckan ss lika med integralen: s=0t1v(t)dt=0t120dt=20t1. s=\displaystyle\int_0^{t_1} v(t)\, \text{d}t=\displaystyle\int_0^{t_1} 20\, \text{d}t=20t_1. Generellt gäller att den primitiva funktionen till v(t)v(t) är sträckafunktionen s(t),s(t), alltså: s(t)=v(t) dt.s(t)=\int v(t)\text{ d}t. I exemplet är v(t)v(t) en konstant funktion men sambandet gäller även då v(t)v(t) varierar.

Regel

Samband mellan hastighet och acceleration

Sambanden mellan begreppen hastighet och acceleration, v(t)=a(t)v(t)=a(t) dt, v'(t)=a(t) \quad \Leftrightarrow \quad v(t)=\int a(t)\text{ d}t, kan tolkas som: "accelerationen är derivatan av hastigheten" och "hastigheten är integralen av accelerationen". Även detta kan motiveras med ett exempel. En bil som ökar sin hastighet med 55 m/s varje sekund har accelerationen 55 m/s2.^2. Hastigheten kan även beskrivas med funktionen v(t)=5t.v(t)=5t. Derivatan blir då v(t)=5 v'(t)=5 dvs. samma som accelerationen. Grafiskt representeras alltså accelerationen av grafens lutning, som är 55 i alla punkter.


Generellt gäller att derivatan av v(t)v(t) är samma sak som accelerationen, v(t)=a(t),v'(t)=a(t), och att v(t)v(t) är en primitiv funktionen till accelerationen: v(t)=a(t) dt. v(t)=\int a(t)\text{ d}t.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}