Produktregeln

Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition: D(f(x)) = lim _(h→ 0) f(x + h) - f(x)/h. För funktionen f(x) * g(x), där f(x) och g(x) är deriverbara funktioner, får man D( f(x) * g(x) ) = lim _(h→ 0)f(x + h) * g(x + h) - f(x) * g(x)/h. Hur skriver man om detta gränsvärde som summan i produktregeln? Till att börja med lägger man till och drar bort f(x) * g(x + h) i täljaren. Då kommer man nämligen kunna dela upp gränsvärdet som en summa av två gränsvärden, vilket är ett steg närmare målet.

Det första av dessa gränsvärden kan man nu skriva om och dela upp som produkten av två andra gränsvärden. Dessa kommer att motsvara första delen av produktregeln: f'(x)* g(x).

Det första gränsvärdet är definitionen för derivatan av f(x) och kan alltså ersättas med f'(x). Det andra gränsvärdet är lika med g(x) eftersom g(x+h) går mot g(x) när h går mot 0. Detta ger D(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + lim _(h→ 0) f(x) * g(x + h) - f(x) * g(x)/h. Det andra gränsvärdet måste då motsvara den andra delen av produktregeln, f(x)* g'(x). För att visa detta börjar man med att bryta ut f(x) ur täljaren. Eftersom den funktionen inte påverkas av att h går mot 0 kan den placeras utanför gränsvärdet.

Det gränsvärde som finns kvar är definitionen för derivatan av g(x). Genom att byta ut gränsvärdet mot g'(x) får man till sist produktregeln: D(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).