Regel

Derivatan av $a^x$

Derivatan till exponentialfunktioner på formen $f(x)=a^x,$ dvs. när $a$ är något annat än talet $e$ , är funktionsuttrycket multiplicerat med $\ln(a).$

Härledning
$D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)$

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen $a$ i exponentialfunktionen $f(x)=a^x$ enligt sambandet $a=e^{\ln(a)}$ . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen $e.$

f(x)=a^x

a = e^{\ln(a)}

f(x)=\left(e^{\ln(a)}\right)^x

\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}

f(x)=e^{\ln(a)\cdot x}

Uttrycken

a^x

och

e^{\ln(a)\cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln

D\left(e^{kx}\right)=ke^{kx}

för att derivera

a^x

. Därefter skrivs

e^{\ln(a)}

om till

a

igen.

f(x)= e^{\ln(a)\cdot x}

Derivera funktion

f'(x) =D\left(e^{\ln(a)\cdot x}\right)

D\left( e^{kx}\right) = ke^{kx}

f'(x) =\ln(a)\cdot e^{\ln(a)\cdot x}

a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}

f'(x) =\ln(a)\cdot \left(e^{\ln(a)}\right)^x

e^{\ln(a)}= a

f'(x) =\ln(a)\cdot a^x

Videohandledningar

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

Formelsamling

Kurs 1

Kurs 2

Kurs 3

Kurs 4

Kurs 5

Derivatan av a^x

Derivatan av $a^x$

Härledning