Regel

Derivatan av $a^x$

Derivatan till exponentialfunktioner på formen $f(x)=a^x,$ dvs. när $a$ är något annat än talet $e$, är funktionsuttrycket multiplicerat med $\ln(a).$

Härledning
$D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)$

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen $a$ i exponentialfunktionen $f(x)=a^x$ enligt sambandet $a=e^{\ln(a)}$. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen $e.$

$f(x)=a^x$

$a = e^{\ln(a)}$

$f(x)=\left(e^{\ln(a)}\right)^x$

$\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}$

$f(x)=e^{\ln(a)\cdot x}$

Uttrycken $a^x$ och $e^{\ln(a)\cdot x}$ är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln $D\left(e^{kx}\right)=ke^{kx}$ för att derivera $a^x$. Därefter skrivs $e^{\ln(a)}$ om till $a$ igen.

$f(x)= e^{\ln(a)\cdot x}$

Derivera funktion

$f'(x) =D\left(e^{\ln(a)\cdot x}\right)$

$D\left( e^{kx}\right) = ke^{kx}$

$f'(x) =\ln(a)\cdot e^{\ln(a)\cdot x}$

$a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}$

$f'(x) =\ln(a)\cdot \left(e^{\ln(a)}\right)^x$

$e^{\ln(a)}= a$

$f'(x) =\ln(a)\cdot a^x$