Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Derivatan av a^x


Regel

Derivatan av axa^x

Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=ax,f(x)=a^x, dvs. när aa är något annat än talet ee, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).\ln(a).

Härledning

info
D(ax)=axln(a)D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen aa i exponentialfunktionen f(x)=axf(x)=a^x enligt sambandet a=eln(a)a=e^{\ln(a)}. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.e.

f(x)=axf(x)=a^x
f(x)=(eln(a))xf(x)=\left(e^{\ln(a)}\right)^x
f(x)=eln(a)xf(x)=e^{\ln(a)\cdot x}
Uttrycken axa^x och eln(a)xe^{\ln(a)\cdot x} är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln D(ekx)=kekxD\left(e^{kx}\right)=ke^{kx} för att derivera axa^x. Därefter skrivs eln(a)e^{\ln(a)} om till aa igen.
f(x)=eln(a)xf(x)= e^{\ln(a)\cdot x}
f(x)=D(eln(a)x)f'(x) =D\left(e^{\ln(a)\cdot x}\right)
f(x)=ln(a)eln(a)xf'(x) =\ln(a)\cdot e^{\ln(a)\cdot x}
f(x)=ln(a)(eln(a))xf'(x) =\ln(a)\cdot \left(e^{\ln(a)}\right)^x
f(x)=ln(a)axf'(x) =\ln(a)\cdot a^x
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward