Argumentet för ett komplext tal på rektangulär form $z=a+bi$ kan beräknas som Man kan visa detta genom att utgå från ett komplext tal skrivet på trigonometrisk polär form, där $r$ är talets absolutbelopp och $v$ är argumentet. Om man uttrycker talet på rektangulär form, $z=a+bi$ kan $a$ och $b$ skrivas som $a=r\cos (v)$ och $b=r\sin (v).$ Man kan då dela realdelen $a$ med $r$ för att lösa ut cosinusvärdet för argumentet. Det här sambandet gäller för alla komplexa tal förutom $0.$ Argumentet $v$ kan nu bestämmas med hjälp av arccos. Arcuscosinus ger en vinkel på intervallet $0\le v\le \pi$ och den negativa lösningen ligger då på intervallet $\text{-}\pi \le v\le 0.$ Eftersom argumentet ofta anges på intervallet $\text{-}\pi <v\le \pi$ är det alltså lösningarna då $n=0$ som är intressanta: De positiva arccos-värdena motsvarar vinklarna i värdemängden för arccos, $0\le v\le \pi ,$ och de negativa arccos-värdena representerar motsvarande negativa vinklar, dvs. $\text{-}\pi <v<0.$ Komplexa tal som kan markeras på eller ovanför reella axeln, dvs. de med icke-negativ imaginärdel $(b\ge 0),$ har argument på intervallet $0$ till $\pi .$ Argumentet för dessa tal kan därför bestämmas med formeln Om imaginärdelen istället är negativ ($b<0$) hamnar man under reella axeln och får då en negativ vinkel. Tecknet på det komplexa talets imaginärdel, $b,$ avgör alltså direkt vilken formel som ska användas. Absolutbeloppet $r$ kan beräknas med $r=|a+bi|,$ vilket ger den slutgiltiga formeln