Regel

Argumentet för ett komplext tal på rektangulär form

Argumentet för ett komplext tal på rektangulär form z=a+biz = a + bi kan beräknas som arg(z)={b0: -arccos(aa+bi)b<0: -arccos(aa+bi). \arg(z) = \begin{cases} {\color{#8C8C8C}{b\geq 0\hspace{-3pt}:}}\ \phantom{\text{-}} \arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right) \\[0.5em] {\color{#8C8C8C}{b<0\hspace{-3pt}:}}\ \text{-}\arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right).\end{cases} Man kan visa detta genom att utgå från ett komplext tal skrivet på trigonometrisk polär form, z=r(cos(v)+isin(v)), z = r\left( \cos(v) + i\sin(v)\right), där rr är talets absolutbelopp och vv är argumentet. Om man uttrycker talet på rektangulär form, z=a+biz = a + bi kan aa och bb skrivas som a=rcos(v)a = r\cos(v) och b=rsin(v).b = r\sin(v). Man kan då dela realdelen aa med rr för att lösa ut cosinusvärdet för argumentet. cos(v)=ar \cos(v)=\dfrac{a}{r} Det här sambandet gäller för alla komplexa tal förutom 0.0. Argumentet vv kan nu bestämmas med hjälp av arccos.
cos(v)=ar\cos(v)=\dfrac{a}{r}
v=±arccos(ar)+n2πv=\pm\arccos\left(\dfrac{a}{r}\right)+n\cdot 2\pi
Arcuscosinus ger en vinkel på intervallet 0vπ0\leq v\leq\pi och den negativa lösningen ligger då på intervallet -πv0.\text{-} \pi\leq v \leq 0. Eftersom argumentet ofta anges på intervallet -π<vπ\text{-}\pi < v \leq \pi är det alltså lösningarna då n=0n=0 som är intressanta: arg(z)=±arccos(ar). \arg(z)=\pm\arccos\left(\dfrac{a}{r}\right). De positiva arccos-värdena motsvarar vinklarna i värdemängden för arccos, 0vπ,0\leq v\leq\pi, och de negativa arccos-värdena representerar motsvarande negativa vinklar, dvs. -π<v<0.\text{-}\pi < v\lt0.

Komplexa tal som kan markeras på eller ovanför reella axeln, dvs. de med icke-negativ imaginärdel (b0),(b\geq0), har argument på intervallet 00 till π.\pi. Argumentet för dessa tal kan därför bestämmas med formeln arg(z)=arccos(ar). \arg(z)=\arccos\left(\dfrac{a}{r}\right). Om imaginärdelen istället är negativ (b<0b<0) hamnar man under reella axeln och får då en negativ vinkel. arg(z)=-arccos(ar) \arg(z)=\text{-}\arccos\left(\dfrac{a}{r}\right) Tecknet på det komplexa talets imaginärdel, b,b, avgör alltså direkt vilken formel som ska användas. Absolutbeloppet rr kan beräknas med r=a+bi,r=|a+bi|, vilket ger den slutgiltiga formeln arg(z)={b0: -arccos(aa+bi)b<0: -arccos(aa+bi). \arg(z) = \begin{cases} {\color{#8C8C8C}{b\geq 0\hspace{-3pt}:}}\ \phantom{\text{-}} \arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right) \\[0.5em] {\color{#8C8C8C}{b<0\hspace{-3pt}:}}\ \text{-}\arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right).\end{cases}

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}