Regel

Antal komplexa rötter till polynomekvationer

Olika polynomekvationer har olika antal rötter. T.ex. har ekvationen x+5=0x + 5 = 0 en lösning medan x21=0x^2 - 1 = 0 har två. Med hjälp av följande sats är det möjligt att bestämma antalet rötter utan att faktiskt lösa ekvationen.

Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är lika med gradtalet.

Sambandet kan motiveras med hjälp av algebrans fundamentalsats som säger att ett polynom p(x)p(x) av åtminstone grad 11 har minst ett komplext nollställe. Om man känner till ett sådant nollställe x=a1x=a_1 kan faktorsatsen användas för att skriva p(x)p(x) som produkten p(x)=(xa1)q1(x), p(x) = (x-a_1)q_1(x), för något polynom q1(x).q_1(x). Nu har man brutit ut en faktor av grad 1,1, alltså måste gradtalet av q1(x)q_1(x) vara 11 mindre än för p(x).p(x). Så länge gradtalet av qq-polynomet är minst 11 kan man bryta ut ytterligare faktorer: p(x)=(xa1)(xa2)q2(x). p(x) = (x-a_1)(x-a_2)q_2(x). Uppdelningen fortsätter tills qq-polynomet är av grad 0,0, alltså en konstant man kan kalla qn.q_n. För ett polynom p(x)p(x) av gradtal nn får man till slut en produkt med n+1n + 1 faktorer: p(x)=(xa1)(xa2)(xan)qn. p(x) = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)q_n. Eftersom det finns nn faktorer med termen xx som alla motsvarar en komplex rot måste p(x)p(x) ha nn komplexa rötter.

Extra

Multiplicitet

En alert läsare kanske undrar hur man förklarar ekvationer som t.ex. x2=0. x^2 = 0. Gradtalet är 2,2, men här finns väl ingen annan rot än 0?0? Nej, det stämmer — men polynomet x2x^2 kan faktoriseras till (x0)(x0).(x-0)(x-0). Faktorsatsen gör en koppling mellan polynomets faktorer och nollställen, så eftersom faktorn (x0)(x-0) förekommer två gånger kan man säga att nollstället 00 förekommer två gånger. x=0x=0 kallas då en dubbelrot, eller en rot med multiplicitet 2.2.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}