Regel

Räkneregler för komplexa tal på polär form

Att multiplicera och dividera komplexa tal på rektangulär form kan ibland vara krångligt och kräva många beräkningssteg. Då kan det vara enklare att göra uträkningen på polär form.

Regel

Multiplikation

För att bestämma resultatet när man multiplicerar två tal på polär form multiplicerar man absolutbeloppen och adderar argumenten.

z1z2=z1z2|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)

Man kan visa detta genom att multiplicera ihop två komplexa tal på trigonometrisk form och använda trigonometriska samband för att förenkla produkten. Nedan finns ett exempel där resultatet av multiplikationen z1z2z_1 z_2 visas tillsammans med de ursprungliga talen.

Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z1=r1(cos(v1)+isin(v1)),z_1=r_1\left(\cos(v_1)+i\sin(v_1)\right), multipliceras med ett annat tal, z2=r2(cos(v2)+isin(v2)),z_2=r_2\left(\cos(v_2)+i\sin(v_2)\right), kan produkten därför skrivas på följande sätt.

z1z2=r1r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2))z_1 z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2) \right)

Regel

Division

När man dividerar två komplexa tal på polär form dividerar man absolutbeloppen och subtraherar argumenten.

z1z2=z1z2\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}
arg(z1z2)=arg(z1)arg(z2)\arg\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)

För att bevisa detta dividerar man två komplexa tal på trigonometrisk form. Med hjälp av trigonometriska ettan och andra trigonometriska samband kan man sedan förenkla uttrycket. Ett exempel visas nedan med resultatet av divisionen z1z2\frac{z_1}{z_2} samt de ursprungliga talen.

Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z1=r1(cos(v1)+isin(v1)),z_1=r_1\left(\cos\left(v_1\right)+i\sin\left(v_1\right)\right), divideras med ett annat tal, z2=r2(cos(v2)+isin(v2)),z_2=r_2\left(\cos(v_2)+i\sin(v_2)\right), kan kvoten därför skrivas på följande sätt.

z1z2=r1r2(cos(v1v2)+isin(v1v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \left(\cos(v_1 - v_2) + i\sin(v_1 - v_2) \right)

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}