Metod

Lösa problem med integraler

Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen

f (t) = 0.5 t - 0.002 t^{2},

där

t

är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och

f (t)

är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första

30

sekunderna med en integral.

Bestäm integrationsgränser

Man ska beräkna sträckan under de $30$ första sekunderna dvs. på intervallet $0 - 30$ sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är $0$ och $30 .$

Ställ upp integralen

Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten

5

m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med

5

meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de

30

första sekunderna ges då av

\int_{0}^{30} (0.5 t - 0.002 t^{2}) d t .

Beräkna integralen

För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till

f (t) .

f (t) = 0.5 t - 0.002 t^{2}

AntiderivativeOne

Bestäm en primitiv funktion

F (t) = D^{- 1} (0.5 t) - D^{- 1} (0.002 t^{2})

AntideriveXCo

$D^{- 1} (a x) = \frac{a x ^{2}}{2}$

F (t) = \frac{0 . 5 t ^{2}}{2} - D^{- 1} (0.002 t^{2})

AntideriveMonomCo

$D^{- 1} (a x^{n}) = \frac{a x ^{n + 1}}{n + 1}$

F (t) = \frac{0 . 5 t ^{2}}{2} - \frac{0 . 0 0 2 t ^{3}}{3}

Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.

\int_{0}^{30} (0.5 t - 0.002 t^{2}) d t

FundCalcArg

$\int_{a}^{b} f (t) d t = [F (t)]_{a}^{b}$

[\frac{0 . 5 t ^{2}}{2} - \frac{0 . 0 0 2 t ^{3}}{3}]_{0}^{30}

EnterIntLimitsGen

$[F (t)]_{0}^{30} = F (30) - F (0)$

\frac{0 . 5 \cdot 3 0 ^{2}}{2} - \frac{0 . 0 0 2 \cdot 3 0 ^{3}}{3} - (\frac{0 . 5 \cdot 0 ^{2}}{2} - \frac{0 . 0 0 2 \cdot 0 ^{3}}{3})

CalcQuotProd

Beräkna kvot & produkt

\frac{0 . 5 \cdot 3 0 ^{2}}{2} - \frac{0 . 0 0 2 \cdot 3 0 ^{3}}{3}

CalcPow

Beräkna potens

\frac{0 . 5 \cdot 9 0 0}{2} - \frac{0 . 0 0 2 \cdot 2 7 0 0 0}{3}

SimpQuot

Förenkla kvot

0.5 \cdot 450 - 0.002 \cdot 9000

Multiply

Multiplicera faktorer

225 - 18

SubTerm

Förenkla termer

207

Integralens värde är

207 .

Besvara frågan i uppgiften

Eftersom integralens värde är

207

hinner cyklisten alltså

207 meter

under de

30

första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut.

f (t)

har enheten m/s och

t

har enheten s. Det betyder att integralen får enheten

\frac{m}{s} \cdot s = m .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Se även