Metod

Bestämma gränsvärde när xx går mot oändligheten

Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära 00. T.ex. är 1100000000000000=0.00000000000001. \frac{1}{100\,000\,000\,000\,000}=0.00000000000001. När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot 0.0. Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet limx x2+52x23x. \lim\limits_{x\to \infty} \ \frac{x^2+5}{2x^2-3x}.

1

Förkorta med termen av högst grad
Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen ax,ax2,ax3,osv. \dfrac{a}{x}, \quad \dfrac{a}{x^2}, \quad \dfrac{a}{x^3}, \quad \text{osv.} Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig 00 när xx går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är x2x^2 man ska förkorta med.
limx x2+52x23x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{x^2+5}{2x^2-3x}
limx (x2+5)/x2(2x23x)/x2\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{\left(x^2+5\right)/x^2}{\left(2x^2-3x\right)/x^2}
limx x2x2+5x22x2x23xx2\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{5}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}}
limx 1+5x223x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{1+\frac{5}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}


2

Låt xx gå mot oändligheten

När xx går mot oändligheten kommer nämnarna x2x^2 och xx att bli mycket stora, dvs. värdet på 5x2\frac{5}{x^2} och 3x\frac{3}{x} kommer hamna nära 00 precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot 00x.x \to \infty.

limx 1+5x223x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{1 +\frac{5}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}
1+020\dfrac{1+0}{2-0}
12\dfrac{1}{2}

Gränsvärdet för x2+52x23x\frac{x^2+5}{2x^2-3x}xx \to \infty är alltså 12.\frac{1}{2}.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}