Metod

Bestämma extrempunkter med första- och andraderivata

Med hjälp av förstaderivatan och andraderivatan kan man bestämma en funktions lokala extrempunkter och avgöra deras karaktär. Man kan t.ex. göra det för funktionen f(x)=0.25x42x3+4.5x2+3.f(x)=0.25x^4-2x^3+4.5x^2+3.

För att hitta extrempunkter börjar man med att derivera funktionen.

f(x)=0.25x42x3+4.5x2+3f(x)=0.25x^4-2x^3+4.5x^2+3
f(x)=D(0.25x4)D(2x3)+D(4.5x2)+D(3)f'(x)=D\left(0.25x^4\right)-D\left(2x^3\right)+D\left(4.5x^2\right)+D(3)
f(x)=x36x2+9x+D(3)f'(x)=x^3-6x^2+9x+D(3)
f(x)=x36x2+9xf'(x)=x^3-6x^2+9x

Funktionens stationära punkter finns där derivatan är lika med 0.0. För att hitta dessa punkter sätter man alltså f(x)f'(x) lika med 00 och löser ekvationen.

x36x2+9x=0x^3-6x^2+9x=0
Dela upp i faktorer
xx2x6x+x9=0x\cdot x^2-x\cdot 6x+x\cdot 9=0
x(x26x+9)=0x\left(x^2-6x+9\right)=0
x=0x26x+9=0\begin{array}{l}x=0 \\ x^2-6x+9=0 \end{array}

Den andra ekvationen kan lösas med pqpq-formeln.

x26x+9=0x^2-6x+9=0
x=--62±(-62)29x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}6}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}6}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{9}}}
x=-(-3)±(-3)29x=\text{-}(\text{-}3)\pm\sqrt{(\text{-}3)^2-9}
x=3±(-3)29x=3\pm\sqrt{(\text{-}3)^2-9}
x=3±99x=3\pm\sqrt{9-9}
x=3±0x=3\pm\sqrt{0}
x=3x=3

Derivatan har två nollställen: x=0x=0 och x=3.x=3.

Nu bestämmer man andraderivatan f(x)f''(x) genom att derivera en gång till.

f(x)=x36x2+9xf'(x)=x^3-6x^2+9x
f(x)=D(x3)D(6x2)+D(9x)f''(x)=D\left(x^3\right)-D\left(6x^2\right)+D(9x)
f(x)=3x2D(6x2)+D(9x)f''(x)=3x^2-D\left(6x^2\right)+D(9x)
f(x)=3x212x+D(9x)f''(x)=3x^2-12x+D(9x)
f(x)=3x212x+9f''(x)=3x^2-12x+9

Därefter sätter man in xx-värdena för de stationära punkterna i f(x),f''(x), vilka man beräknade i förra steget, för att bestämma andraderivatans tecken i dessa.

f(x)=3x212x+9f''(x)=3x^2-12x+9
f(0)=302120+9f''({\color{#0000FF}{0}})=3\cdot{\color{#0000FF}{0}}^2-12\cdot{\color{#0000FF}{0}}+9
f(0)=30120+9f''(0)=3\cdot0-12\cdot0+9
f(0)=9f''(0)=9

När xx är 00 är andraderivatan 9,9, alltså positiv, vilket innebär att f(x)f(x) har en minimipunkt där.

f(x)=3x212x+9f''(x)=3x^2-12x+9
f(3)=332123+9f''({\color{#0000FF}{3}})=3\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-12\cdot{\color{#0000FF}{3}}+9
f(3)=39123+9f''(3)=3\cdot9-12\cdot3+9
f(3)=2736+9f''(3)=27-36+9
f(3)=0f''(3)=0

När x=3x=3 är andraderivatan 0.0. Det säger inget om vilken sorts stationär punkt som finns där. Det kan vara en terrasspunkt, men det kan också vara en maximi- eller minimipunkt.

Om någon stationär punkt har andraderivatan 00 kan denna vara antingen en terrass-, maximi- eller minimipunkt. För att avgöra karaktären kan man göra en teckentabell kring den. xx-värdena man väljer får inte ligga på andra sidan om övriga stationära punkter. Här innebär det att man ska välja ett xx-värde på intervallet 0<x<30<x<3 och ett på intervallet x>3.x>3.

xx 00 33
f(x)f'(x) 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) Min \nearrow Ter. \nearrow

Förstaderivatan är positiv både till höger och vänster om x=3.x=3. Det finns alltså en terrasspunkt där.

Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter utesluter man dessa, i det här fallet punkten där x=3.x=3.

Slutligen bestämmer man funktionsvärdena för extrempunkterna. Här finns det en extrempunkt där x=0,x=0, och detta xx-värde sätter man in i funktionsuttrycket.

f(x)=0.25x42x3+4.5x2+3f(x)=0.25x^4-2x^3+4.5x^2+3
f(0)=0.2504203+4.502+3f({\color{#0000FF}{0}})=0.25\cdot{\color{#0000FF}{0}}^4-2\cdot{\color{#0000FF}{0}}^3+4.5\cdot{\color{#0000FF}{0}}^2+3
f(0)=0.25020+4.50+3f(0)=0.25\cdot0-2\cdot0+4.5\cdot0+3
f(0)=3f(0)=3

Funktionen har alltså ett minimum i (0,3).(0,3).

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}