Metod

Lösningarna till ekvationen $f^{'} (x) = 0$ är alltså $x = 0$ och en dubbelrot $x = 2 .$ Detta är derivatans nollställen, så för dessa $x$ -värden hittar man funktionens stationära punkter.

Avgör stationära punkters karaktär med teckentabell

För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är $0$ när $x$ är $0$ och $2 .$

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om $f (x)$ är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något $x$ -värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan $f^{'} (x) .$ Här kan man t.ex. välja $x$ -värdena $- 1,$ $1$ och $3 .$

$x$	$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$	$f^{'} (x)$	$+ / -$
$- 1$	$12 (- 1)^{3} - 48 (- 1)^{2} + 48 (- 1)$	$- 12$	$-$
$1$	$12 \cdot 1^{3} - 48 \cdot 1^{2} + 48 \cdot 1$	$12$	$+$
$3$	$12 \cdot 3^{3} - 48 \cdot 3^{2} + 48 \cdot 3$	$36$	$+$

Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion ( $↗$ ) och en negativ derivata ger en avtagande funktion ( $↘$ ).

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om $x = 0$ och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i $x = 2$ är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

Uteslut eventuella terrasspunkter

Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där $x = 2 .$

Bestäm extrempunkternas koordinater

Till sist bestämmer man koordinaterna för extrempunkterna. Eftersom man känner till deras

x

-värden kan man sätter in dem i funktionen

f (x) .

Minimipunkten i exemplet har

x

-värdet

0,

vilket ger

y

-värdet

f (0) = 3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{3} - 24 \cdot 0^{2} = 0 .

Funktionens enda extrempunkt är alltså en minimipunkt med koordinaterna

(0, 0) .

Man kan kontrollera detta genom att rita funktionen på räknaren.

tredjegradsfunktion med minimipunkt och terrasspunkt

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Metod

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Se även