Metod

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

Man kan bestämma lokala extrempunkter för en funktion, t.ex. f(x)=3x416x3+24x2,f(x)=3x^4-16x^3+24x^2, genom att avgöra i vilka punkter dess derivata är 0,0, och därefter undersöka extrempunkternas karaktär samt dess koordinater.

1

Derivera funktionen

Man börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f(x)=3x416x3+24x2f(x)=3x^4-16x^3+24x^2
f(x)=D(3x4)D(16x3)+D(24x2)f'(x)=D\left(3x^4\right)-D\left(16x^3\right)+D\left(24x^2\right)
f(x)=12x348x2+48xf'(x)=12x^3-48x^2+48x

2

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta derivatans nollställen sätter man den lika med 00 och löser den ekvation man får. I detta fall får man 12x348x2+48x=0. 12x^3-48x^2+48x=0. Hur man löser f(x)=0f'(x) = 0 beror på hur ekvationen ser ut. Här använder man nollproduktmetoden.

12x348x2+48x=012x^3-48x^2+48x=0
x34x2+4x=0x^3-4x^2+4x=0
x(x24x+4)=0x\left(x^2-4x+4\right)=0
x=0x24x+4=0\begin{array}{lc} x=0 \\ x^2-4x+4=0 \end{array}

I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0,x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pqpq-formeln.

x24x+4=0x^2-4x+4=0
x=--42±(-42)24x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{4}}}
x=-(-2)±(-2)24x=\text{-}(\text{-}2)\pm\sqrt{(\text{-}2)^2-4}
x=2±(-2)24x=2\pm\sqrt{(\text{-}2)^2-4}
x=2±44x=2\pm\sqrt{4-4}
x=2±0x=2\pm\sqrt{0}
x=2x=2

Lösningarna till ekvationen f(x)=0f'(x)=0 är alltså x=0x=0 och en dubbelrot x=2.x=2. Detta är derivatans nollställen, så för dessa xx-värden hittar man funktionens stationära punkter.

3

Avgör stationära punkters karaktär med teckentabell

För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är 00 när xx är 00 och 2.2.

xx 00 22
f(x)f'(x) 00 00
f(x)f(x) \phantom{\searrow} Min\phantom{Min} \phantom{\nearrow} Ter.\phantom{Ter.} \phantom{\nearrow}

För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om f(x)f(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något xx-värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan f(x).f'(x). Här kan man t.ex. välja xx-värdena -1,\text{-}1, 11 och 3.3.

xx 12x348x2+48x12x^3-48x^2+48x f(x)f'(x) +/+/-
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} 12(-1)348(-1)2+48(-1)12({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3-48({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2+48({\color{#0000FF}{\text{-}1}}) -12\text{-} 12 -
1 {\color{#0000FF}{1}} 12134812+48112\cdot{\color{#0000FF}{1}}^3-48\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2+48\cdot{\color{#0000FF}{1}} 1212 ++
3 {\color{#0000FF}{3}} 12334832+48312\cdot{\color{#0000FF}{3}}^3-48\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2+48\cdot{\color{#0000FF}{3}} 3636 ++

Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion (\nearrow) och en negativ derivata ger en avtagande funktion (\searrow).

xx 00 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) \searrow Min\phantom{Min} \nearrow Ter.\phantom{Ter.} \nearrow

I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om x=0x=0 och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i x=2x=2 är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.

xx 00 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) \searrow Min \nearrow Ter. \nearrow

4

Uteslut eventuella terrasspunkter

Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där x=2.x=2.

5

Bestäm extrempunkternas koordinater

Till sist bestämmer man koordinaterna för extrempunkterna. Eftersom man känner till deras xx-värden kan man sätter in dem i funktionen f(x).f(x). Minimipunkten i exemplet har xx-värdet 0,0, vilket ger yy-värdet f(0)=30416032402=0. f(0)=3\cdot0^4-16\cdot0^3-24\cdot0^2=0. Funktionens enda extrempunkt är alltså en minimipunkt med koordinaterna (0,0).(0,0). Man kan kontrollera detta genom att rita funktionen på räknaren.

tredjegradsfunktion med minimipunkt och terrasspunkt


{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}