Metod

Beräkna integral med primitiv funktion

När man beräknar integraler kan man använda sig av integralkalkylens huvudsats. T.ex. kan man beräkna integralen 13(3x2+2)dx, \int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx, på detta sätt.

1

Bestäm en primitiv funktion, F(x)F(x)

Först bestämmer man en primitiv funktion till integranden, dvs. till den funktion som ska integreras.

f(x)=3x2+2f(x)=3x^2+2
F(x)=D-1(3x2)+D-1(2)F(x)=D^{\text{-}1}\left(3x^2\right)+D^{\text{-}1}(2)
F(x)=3x33+D-1(2)F(x)=\dfrac{3x^3}{3}+D^{\text{-}1}(2)
F(x)=3x33+2xF(x)=\dfrac{3x^3}{3}+2x
F(x)=x3+2xF(x)=x^3+2x

2

Beräkna F(b)F(a)F(b)-F(a)

Nu sätts integrationsgränserna in i den primitiva funktionen och man beräknar differensen.

13(3x2+2)dx\displaystyle\int_{1}^{3}\left(3x^2+2 \right) \, \text d x
[x3+2x]13\left[x^3+2x\right]_1^3
[F(x)]13=F(3)F(1)\left[F(x)\right]_{{\color{#009600}{1}}}^{\color{#0000FF}{3}}=F\left({\color{#0000FF}{3}}\right)-F\left({\color{#009600}{1}}\right)
33+23(13+21){\color{#0000FF}{3}}^3+2\cdot{\color{#0000FF}{3}}-\left({\color{#009600}{1}}^3+2\cdot{\color{#009600}{1}}\right)
27+6(1+2)27+6-(1+2)
27+61227+6-1-2
3030
Integralen 13(3x2+2)dx\int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx är alltså lika med 30.30.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}