Uppgift

Bestäm extrempunkterna till funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3 med hjälp av dess första- och andraderivata.

Lösning

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f(x)=-0.4x4+2x3+3f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3
f(x)=D(-0.4x4)+D(2x3)+D(3)f'(x)=D(\text{-}0.4x^4)+D(2x^3)+D(3)
f(x)=-1.6x3+6x2+D(3)f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2+D(3)
f(x)=-1.6x3+6x2f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2

Vi sätter nu derivatan lika med 00 och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi xx-värdena till funktionens stationära punkter.

f(x)=-1.6x3+6x2f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2
0=-1.6x3+6x2{\color{#0000FF}{0}}=\text{-}1.6x^3+6x^2
-1.6x3+6x2=0\text{-}1.6x^3+6x^2=0

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut x2.x^2.

-1.6x3+6x2=0\text{-}1.6x^3+6x^2=0
Dela upp i faktorer
x2(-1.6x)+x26=0x^2(\text{-}1.6x)+x^2\cdot 6=0
x2(-1.6x+6)=0x^2\left(\text{-}1.6x+6\right)=0
x2=0(I)-1.6x+6=0(II)\begin{array}{lc}x^2=0 & \text{(I)}\\ \text{-}1.6x+6=0 & \text{(II)}\end{array}
x=±0-1.6x+6=0\begin{array}{l}x=\pm\sqrt{0} \\ \text{-}1.6x+6=0 \end{array}
x=0-1.6x+6=0\begin{array}{l}x=0 \\ \text{-}1.6x+6=0 \end{array}
x=0-1.6x=-6\begin{array}{l}x=0 \\ \text{-}1.6x=\text{-}6 \end{array}
x=0x=-6-1.6\begin{array}{l}x=0 \\ x=\dfrac{\text{-}6}{\text{-}1.6} \end{array}
x1=0x2=3.75\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=3.75 \end{array}

Lösningarna till f(x)=0f'(x)=0 är alltså x=0x=0 och x=3.75x=3.75, och det är för dessa xx-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

f(x)=-1.6x3+6x2f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2
f(x)=D(-1.6x3)+D(6x2)f''(x)=D(\text{-}1.6x^3)+D(6x^2)
f(x)=-4.8x2+12xf''(x)=\text{-}4.8x^2+12x

Vi sätter nu in xx-värdena 00 och 3.753.75 för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

f(x)=-4.8x2+12xf''(x)=\text{-}4.8x^2+12x
f(0)=-4.802+120f''({\color{#0000FF}{0}})=\text{-}4.8\cdot {\color{#0000FF}{0}}^2+12\cdot {\color{#0000FF}{0}}
f(x)=-4.80+120f''(x)=\text{-}4.8\cdot 0+12\cdot 0
f(x)=0f''(x)=0

När x=0x=0 är alltså andraderivatan 0.0. Vi räknar sedan ut andraderivatan för x=3.75.x=3.75.

f(x)=-4.8x2+12xf''(x)=\text{-}4.8x^2+12x
f(3.75)=-4.83.752+123.75f''({\color{#0000FF}{3.75}})=\text{-}4.8\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^2+12\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}
f(3.75)=-22.5f''(3.75)=\text{-}22.5

Andraderivatan är alltså negativ när x=3.75,x=3.75, vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När x=0x=0 är andraderivatan istället 0,0, och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt x=0.x=0. Vi väljer ett xx-värde som är lägre än 0,0, t.ex. -1,\text{-}1, och ett som ligger mellan x=0x = 0 och x=3.75,x = 3.75, t.ex. 11 och undersöker derivatans tecken för dem.

xx f(x)f'(x) == Tecken
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} -1.6(-1)3+6(-1)2\text{-}1.6\cdot({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3+6\cdot({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2 7.67.6 ++
1 {\color{#0000FF}{1}} -1.613+612\text{-}1.6 \cdot {\color{#0000FF}{1}}^3+6 \cdot {\color{#0000FF}{1}}^2 4.44.4 ++

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där xx är 0,0, och kan sammanställa detta i en teckentabell.

xx 00
f(x)f'(x) ++ 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Ter. \nearrow

Funktionen har alltså en terrasspunkt där xx är 0.0. Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i x=3.75.x=3.75. För att bestämma yy-värdet sätter vi in x=3.75x = 3.75 i funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3.f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3.

f(x)=-0.4x4+2x3+3f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3
f(3.75)=-0.43.754+23.753+3f({\color{#0000FF}{3.75}})=\text{-}0.4\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^4+2\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^3+3
f(3.75)=29.3671875f(3.75)=29.3671875
f(3.75)29.37f(3.75)\approx 29.37

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna (3.75,29.37).(3.75,29.37).

Visa lösning Visa lösning

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}