Bevis

Trigonometriska värden för standardvinklar

För de så kallade standardvinklarna är det möjligt att härleda exakta trigonometriska värden.

Vinkel vv 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef.
Vinkel vv 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
sin(v) \sin(v) 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00

För många av bevisen behöver man använda två typer av rätvinkliga trianglar: en likbent och en halv liksidig triangel med vinklar och längder som i figuren.

För att härleda värdena i tabellen använder man även enhetscirkeln samt sambanden x=cos(v)x=\cos(v), y=sin(v)y=\sin(v) och tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}.

Vinkeln 00^\circ

Bevis

sin(0)=0\sin(0^\circ)=0

Punkten som motsvarar vinkeln 00^\circ hamnar längst ut till höger på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på xx-axeln, där yy-värdet lika med 0.0. Det betyder att sin(0)=0.\sin(0^\circ)=0.

Q.E.D.

Bevis

cos(0)=1\cos(0^\circ)=1

Punkten som motsvarar vinkeln 00^\circ hamnar längst ut till höger på enhetscirkeln.

Eftersom enhetscirkelns radie är 11 så har punkten xx-värdet 1.1. Det betyder att cos(0)=1.\cos(0^\circ)=1.

Q.E.D.

Bevis

tan(0)=0\tan(0^\circ)=0

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel. De är 00 respektive 1,1, vilket betyder att tan(0)=sin(0)cos(0)=01=0. \tan(0^\circ)=\dfrac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)}=\dfrac{0}{1}=0. Man får alltså att tan(0)=0.\tan(0^\circ)=0.

Q.E.D.

Vinkeln 3030^\circ

Bevis

sin(30)=12\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln 3030^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot yy-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är 6060^\circ och en som är 30,30^\circ, vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan 1.1. Då är den korta kateten 12.\frac{1}{2}.

Det betyder att yy-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 3030^\circ är 12,\frac{1}{2}, vilket i sin tur innebär att sin(30)=12.\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}.

Q.E.D.

Bevis

cos(30)=32\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln 3030^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot xx-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är 6060^\circ och en som är 30,30^\circ, vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan 1.1. Då är den långa kateten 32.\frac{\sqrt{3}}{2}.

Det betyder att xx-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 3030^\circ är 32,\frac{\sqrt{3}}{2}, vilket i sin tur innebär att cos(30)=32.\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Q.E.D.

Bevis

tan(30)=13\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(30)=sin(30)cos(30)\tan(30^\circ)=\dfrac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}
tan(30)=1/23/2\tan(30^\circ)=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}
tan(30)=13\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
Q.E.D.

Vinkeln 4545^\circ

Bevis

sin(45)=12\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Genom att rita en radie med vinkeln 4545^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot yy-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är 45,45^\circ, vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan 1.1. Då har kateterna längden 12.\frac{1}{\sqrt{2}}.

Det betyder att yy-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 4545^\circ är 12,\frac{1}{\sqrt{2}}, vilket i sin tur innebär att sin(45)=12.\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Q.E.D.

Bevis

cos(45)=12\cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Genom att rita en radie med vinkeln 4545^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot xx-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är 45,45^\circ, vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan 1.1. Då har kateterna längden 12.\frac{1}{\sqrt{2}}.

Det betyder att xx-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 4545^\circ är 12,\frac{1}{\sqrt{2}}, vilket i sin tur innebär att cos(45)=12.\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Q.E.D.

Bevis

tan(45)=1\tan(45^\circ)=1

Tangensvärdet för 4545^\circ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(45)=sin(45)cos(45)\tan(45^\circ)=\dfrac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}
tan(45)=1/21/2\tan(45^\circ)=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}
tan(45)=1\tan(45^\circ)=1
Q.E.D.

Vinkeln 6060^\circ

Bevis

sin(60)=32\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln 6060^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot yy-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är 3030^\circ och en som är 60,60^\circ, vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan 1.1. Då är den långa kateten 32.\frac{\sqrt{3}}{2}.

Det betyder att yy-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 6060^\circ är 32,\frac{\sqrt{3}}{2}, vilket i sin tur innebär att sin(60)=32.\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Q.E.D.

Bevis

cos(60)=12\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln 6060^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot xx-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är 6060^\circ och en som är 30,30^\circ, vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan 1.1. Då är den korta kateten 12.\frac{1}{2}.

Det betyder att xx-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 6060^\circ är 12,\frac{1}{2}, vilket i sin tur innebär att cos(60)=12.\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}.

Q.E.D.

Bevis

tan(60)=3\tan(60^\circ)=\sqrt{3}

Tangensvärdet för 6060^\circ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(60)=sin(60)cos(60)\tan(60^\circ)=\dfrac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}
tan(60)=3/21/2\tan(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}
tan(60)=31\tan(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{1}
tan(60)=3\tan(60^\circ)=\sqrt{3}
Q.E.D.

Vinkeln 9090^\circ

Bevis

sin(90)=1\sin(90^\circ)=1

Punkten som motsvarar vinkeln 9090^\circ hamnar längst upp på enhetscirkeln.

Eftersom enhetscirkelns radie är 11 så har punkten yy-värdet 1.1. Det betyder att sin(90)=1.\sin(90^\circ) = 1.

Q.E.D.

Bevis

cos(90)=0\cos(90^\circ)=0

Punkten som motsvarar vinkeln 9090^\circ hamnar längst upp på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på yy-axeln, där xx-värdet lika med 0.0. Det betyder att sin(0)=0.\sin(0^\circ)=0.

Q.E.D.

Bevis

tan(90)\tan(90^\circ) — odefinierat

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel: tan(90)=sin(90)cos(90). \tan(90^\circ)=\dfrac{\sin(90^\circ)}{\cos(90^\circ)}. Men cos(90)\cos(90^\circ) är lika med 0,0, vilket ger nolldivision. Därför är tan(90)\tan(90^\circ) inte definierat.

Q.E.D.

Vinkeln 120120^\circ

Bevis

sin(120)=32\sin(120^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln 120120^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot yy-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är 3030^\circ och en som är 60,60^\circ, vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan 1.1. Då är den långa kateten 32.\frac{\sqrt{3}}{2}.

Det betyder att yy-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 120120^\circ är 32,\frac{\sqrt{3}}{2}, vilket i sin tur innebär att sin(120)=32.\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Q.E.D.

Bevis

cos(120)=-12\cos(120^\circ)=\text{-}\dfrac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln 120120^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot xx-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är 6060^\circ och en som är 30,30^\circ, vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan 1.1. Då är den korta kateten 12.\frac{1}{2}.

Punkten som motsvarar vinkeln 120120^\circ ligger till vänster om yy-axeln, så dess xx-koordinat är -12.\text{-}\frac{1}{2}. Det innebär att cos(120)=-12.\cos(120^\circ) = \text{-}\frac{1}{2}.

Q.E.D.

Bevis

tan(120)=-3\tan(120^\circ)=\text{-}\sqrt{3}

Tangensvärdet för 120120^\circ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(120)=sin(120)cos(120)\tan(120^\circ)=\dfrac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)}
tan(120)=3/2-1/2\tan(120^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}/2}{\text{-}1/2}
tan(120)=3-1\tan(120^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{\text{-}1}
tan(120)=-3\tan(120^\circ)=\text{-}\sqrt{3}
Q.E.D.

Vinkeln 135135^\circ

Bevis

sin(135)=12\sin(135^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Genom att rita en radie med vinkeln 135135^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot yy-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är 45,45^\circ, vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan 1.1. Då har kateterna längden 12.\frac{1}{\sqrt{2}}.

Det betyder att yy-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 135135^\circ är 12,\frac{1}{\sqrt{2}}, vilket i sin tur innebär att sin(135)=12.\sin(135^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Q.E.D.

Bevis

cos(135)=-12\cos(135^\circ)=\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Genom att rita en radie med vinkeln 135135^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot xx-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är 45,45^\circ, vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan 1.1. Då har kateterna längden 12.\frac{1}{\sqrt{2}}.

Punkten som motsvarar vinkeln 135135^\circ ligger till vänster om yy-axeln, så dess xx-koordinat är -12.\text{-}\frac{1}{\sqrt{2}}. Det innebär att cos(135)=-12.\cos(135^\circ) = \text{-}\frac{1}{\sqrt{2}}.

Q.E.D.

Bevis

tan(135)=-1\tan(135^\circ)=\text{-}1

Tangensvärdet för vinkeln 135135^\circ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(135)=sin(135)cos(135)\tan(135^\circ)=\dfrac{\sin(135^\circ)}{\cos(135^\circ)}
tan(135)=1/2-1/2\tan(135^\circ)=\dfrac{1/\sqrt{2}}{\text{-}1/\sqrt{2}}
tan(135)=-1/21/2\tan(135^\circ)=\text{-}\dfrac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}
tan(135)=-1\tan(135^\circ)=\text{-}1
Q.E.D.

Vinkeln 150150^\circ

Bevis

sin(150)=12\sin(150^\circ)=\dfrac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln 150150^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot yy-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är 6060^\circ och en som är 30,30^\circ, vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan 1.1. Då är den korta kateten 12.\frac{1}{2}.

Det betyder att yy-koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln 150150^\circ är 12,\frac{1}{2}, vilket i sin tur innebär att sin(150)=12.\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}.

Q.E.D.

Bevis

cos(150)=-32\cos(150^\circ)=\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln 150150^\circ mot den positiva xx-axeln bildas en rätvinklig triangel mot xx-axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är 3030^\circ och en som är 60,60^\circ, vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan 1.1. Då är den långa kateten 32.\frac{\sqrt{3}}{2}.

Punkten som motsvarar vinkeln 150150^\circ ligger till vänster om yy-axeln, så dess xx-koordinat är -32.\text{-}\frac{\sqrt{3}}{2}. Det innebär att cos(150)=-32.\cos(150^\circ) = \text{-}\frac{\sqrt{3}}{2}.

Q.E.D.

Bevis

tan(150)=-13\tan(150^\circ)=\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Tangensvärdet för vinkeln 150150^\circ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(150)=sin(150)cos(150)\tan(150^\circ)=\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}
tan(150)=1/2-3/2\tan(150^\circ)=\dfrac{1/2}{\text{-}\sqrt{3}/2}
tan(150)=1-3\tan(150^\circ)=\dfrac{1}{\text{-}\sqrt{3}}
tan(150)=-13\tan(150^\circ)=\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}}
Q.E.D.

Vinkeln 180180^\circ

Bevis

sin(180)=0\sin(180^\circ)=0

Punkten som motsvarar vinkeln 180180^\circ hamnar längst ut till vänster på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på xx-axeln, där yy-värdet lika med 0.0. Det betyder att sin(180)=0.\sin(180^\circ)=0.

Q.E.D.

Bevis

cos(180)=-1\cos(180^\circ)=\text{-}1

Punkten som motsvarar vinkeln 00^\circ hamnar längst ut till vänster på enhetscirkeln.

Punkten ligger alltså på negativa delen av xx-axeln, och eftersom enhetscirkelns radie är 11 så har punkten xx-värdet -1.\text{-}1. Det betyder att cos(0)=-1.\cos(0^\circ)=\text{-}1.

Q.E.D.

Bevis

tan(180)=0\tan(180^\circ)=0

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel. De är 00 respektive -1\text{-}1 vilket betyder att tan(180)=0-1=0. \tan(180^\circ)=\dfrac{0}{\text{-}1}=0. Man får alltså att tan(180)=0.\tan(180^\circ)=0.

Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}