Bevis

Subtraktionsformeln för sinus

Sinusvärdet av en differens kan delas upp i en kombination av vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen uvu-v som en addition med ett negativt tal.
sin(uv)\sin(u-v)
sin(u+(-v))\sin(u+ (\text{-} v))
sin(u)cos(-v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
Uttrycket kan nu förenklas med sambanden cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v) och sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v).
sin(u)cos(-v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
sin(u)cos(v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
sin(u)cos(v)+cos(u)(-sin(v))\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)
sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)
Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v). \sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v).
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}