Bevis

Subtraktionsformeln för cosinus

För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.

cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, uu och v,v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas PP och Q.Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, d,d, mellan punkterna PP och QQ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.d.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(cos(u)cos(v))2+(sin(u)sin(v))2d=\sqrt{(\cos(u)-\cos(v))^2+(\sin(u)-\sin(v))^2}
d=cos2(u)2cos(u)cos(v)+cos2(v)+sin2(u)2sin(u)sin(v)+sin2(v)d=\sqrt{\cos^2(u)-2\cos(u)\cos(v)+\cos^2(v)+\sin^2(u)-2\sin(u)\sin(v)+\sin^2(v)}
d=sin2(u)+cos2(u)+sin2(v)+cos2(v)2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)+\sin^2(v)+\cos^2(v)-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
sin2(v)+cos2(v)=1 \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1
d=1+12cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{1+1-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
d=22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
Medelpunktsvinkeln mellan PP och QQ är skillnaden mellan uu och v,v, dvs. uv.u-v.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i PP hamnar på xx-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet dd är fortfarande samma. Låt PP' och QQ' beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna dd med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för PP' och Q.Q'.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(cos(uv)1)2+(sin(uv)0)2d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+(\sin(u-v)-0)^2}
d=(cos(uv)1)2+sin2(uv)d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+\sin^2(u-v)}
d=cos2(uv)2cos(uv)1+12+sin2(uv)d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cdot\cos(u-v)\cdot 1+1^2+\sin^2(u-v)}
d=cos2(uv)2cos(uv)+1+sin2(uv)d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cos(u-v)+1+\sin^2(u-v)}
d=sin2(uv)+cos2(uv)+12cos(uv)d=\sqrt{\sin^2(u-v)+\cos^2(u-v)+1-2\cos(u-v)}
sin2(v)+cos2(v)=1 \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1
d=1+12cos(uv)d=\sqrt{1+1-2\cos(u-v)}
d=22cos(uv)d=\sqrt{2-2\cos(u-v)}
De två uttrycken för längden dd kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.
22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=22cos(uv)\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}=\sqrt{2-2\cos(u-v)}
22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=22cos(uv)2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=2-2\cos(u-v)
-2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=-2cos(uv)\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=\text{-} 2\cos(u-v)
-2cos(uv)=-2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)\text{-} 2\cos(u-v)=\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)
2cos(uv)=2cos(u)cos(v)+2sin(u)sin(v)2\cos(u-v)= 2\cos(u)\cos(v)+2\sin(u)\sin(v)
cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)= \cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)
Cosinusvärdet av en differens är alltså cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v). \cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v).
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}