Bevis

Konjugerade rötter

Icke-reella rötter till polynomekvationer av typen anzn+an1zn1++a1z+a0=0 a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0 = 0 kommer alltid i konjugerade par, förutsatt att alla koefficienter a0,,na_{0,\ldots,n} är reella tal. Det innebär att om t.ex. z=32iz = 3-2i visar sig uppfylla ekvationen måste även konjugatet zˉ=3+2i\bar{z} = 3+2i göra det.

Bevis

p(z)=0p(zˉ)=0p(z) = 0\quad \Leftrightarrow\quad p\left(\bar{z}\right)=0

Låt zz vara en rot till ekvationen p(z)=0,p(z) = 0, där p(z)p(z) är ett polynom med reella koefficienter: p(z)=anzn+an1zn1++a1z+a0.p(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0. Att zz är en rot innebär att polynomets värde är 00zz satts in. Om man konjugerar höger- och vänsterledet av denna likhet får man konjugatet av en summa, vilket man kan visa är lika med summan av konjugaten.
anzn+an1zn1++a1z+a0=0a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0 = 0
anzn+an1zn1++a1z+a0=0\overline{a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0} = 0
anzn+an1zn1++a1z+aˉ0=0\overline{a_nz^n} + \overline{a_{n-1}z^{n-1}} + \ldots + \overline{a_1z} + \bar{a}_0 = 0
Termerna är nu konjugat av produkter, vilket på liknande sätt kan visas vara lika med produkten av konjugaten. Eftersom koefficienterna är reella är alla aa:n lika med sitt konjugat.
anzn+an1zn1++a1z+aˉ0=0\overline{a_nz^n} + \overline{a_{n-1}z^{n-1}} + \ldots + \overline{a_1z} + \bar{a}_0 = 0
aˉnzn+aˉn1zn1++aˉ1zˉ+aˉ0=0\bar{a}_n\overline{z^n} + \bar{a}_{n-1}\overline{z^{n-1}} + \ldots + \bar{a}_1\bar{z} + \bar{a}_0 = 0
anzn+an1zn1++a1zˉ+a0=0a_n\overline{z^n} + a_{n-1}\overline{z^{n-1}} + \ldots + a_1\bar{z} + a_0 = 0
Slutligen kan vi skriva om alla konjugat av potenser som potenser av konjugat.
anzn+an1zn1++a1zˉ+a0=0a_n\overline{z^n} + a_{n-1}\overline{z^{n-1}} + \ldots + a_1\bar{z} + a_0 = 0
anzˉn+an1zˉn1++a1zˉ+a0=0a_n\bar{z}^n + a_{n-1}\bar{z}^{n-1} + \ldots + a_1\bar{z} + a_0 = 0
Vänsterledet är nu precis utvecklingen av p(zˉ),p(\bar{z}), som alltså är noll. Därför gäller det att p(z)=0p(zˉ)=0, p(z) = 0\quad \Leftrightarrow\quad p\left(\bar{z}\right)=0, dvs. att nollställena till polynom med reella koefficienter kommer i konjugerade par.
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}