Bevis

Division av komplexa tal på polär form

När man dividerar ett komplext tal,

z_{1},

med ett annat,

z_{2},

kommer resultatet få ett absolutbelopp som är absolutbeloppet av

z_{1}

dividerat med absolutbeloppet av

z_{2} .

Argumentet får man genom att subtrahera argumentet för

z_{2}

från argumentet för

z_{1} .

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} (cos (v_{1} - v_{2}) + i sin (v_{1} - v_{2}))$

Man kan visa detta genom att skriva de två talen på trigonometrisk form och dividera dem. Då börjar man med att förlänga bråket med uttrycket

(cos (v_{2}) - i sin (v_{2}))

och sedan använder man trigonometriska ettan för att eliminera nämnaren. Efter det utvecklar man uttrycket och använder trigonometriska samband för att skriva om det som ett enda tal på trigonometrisk form.

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1} ( cos ( v _{1} ) + i sin ( v _{1} ) )}{r _{2} ( cos ( v _{2} ) + i sin ( v _{2} ) )}

WriteProdFrac

Dela upp bråk

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot \frac{( cos ( v _{1} ) + i sin ( v _{1} ) )}{( cos ( v _{2} ) + i sin ( v _{2} ) )}

ExpandFrac

Förläng med $(cos (v_{2}) - i sin (v_{2}))$

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot \frac{( cos ( v _{1} ) + i sin ( v _{1} ) ) \cdot ( cos ( v _{2} ) - i sin ( v _{2} ) )}{( cos ( v _{2} ) + i sin ( v _{2} ) ) \cdot ( cos ( v _{2} ) - i sin ( v _{2} ) )}

ExpandDiffSquares

Utveckla med konjugatregeln

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot \frac{( cos ( v _{1} ) + i sin ( v _{1} ) ) \cdot ( cos ( v _{2} ) - i sin ( v _{2} ) )}{cos ^{2} ( v _{2} ) - i ^{2} sin ^{2} ( v _{2} )}

IDefPow

$i^{2} = - 1$

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot \frac{( cos ( v _{1} ) + i sin ( v _{1} ) ) \cdot ( cos ( v _{2} ) - i sin ( v _{2} ) )}{cos ^{2} ( v _{2} ) + sin ^{2} ( v _{2} )}

PythTrigId

$sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1$

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot \frac{( cos ( v _{1} ) + i sin ( v _{1} ) ) \cdot ( cos ( v _{2} ) - i sin ( v _{2} ) )}{1}

CalcQuot

Beräkna kvot

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot (cos (v_{1}) + i sin (v_{1})) \cdot (cos (v_{2}) - i sin (v_{2}))

ExpandPar

Multiplicera parenteser

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot (cos (v_{1}) \cdot cos (v_{2}) - cos (v_{1}) \cdot i sin (v_{2}) + i sin (v_{1}) \cdot cos (v_{2}) - i sin (v_{1}) \cdot i sin (v_{2}))

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot (cos (v_{1}) \cdot cos (v_{2}) - i cos (v_{1}) sin (v_{2}) + i sin (v_{1}) cos (v_{2}) - i^{2} sin (v_{1}) sin (v_{2}))

IDefPow

$i^{2} = - 1$

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot (cos (v_{1}) \cdot cos (v_{2}) - i cos (v_{1}) sin (v_{2}) + i sin (v_{1}) cos (v_{2}) + sin (v_{1}) sin (v_{2}))

RearrangeTerms

Omarrangera termer

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot (cos (v_{1}) \cdot cos (v_{2}) + sin (v_{1}) sin (v_{2}) + i sin (v_{1}) cos (v_{2}) - i cos (v_{1}) sin (v_{2}))

FactorOut

Bryt ut $i$

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot (cos (v_{1}) \cdot cos (v_{2}) + sin (v_{1}) sin (v_{2}) + i (sin (v_{1}) cos (v_{2}) - cos (v_{1}) sin (v_{2})))

CosSubRev

$cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v) = cos (u - v)$

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot (cos (v_{1} - v_{2}) + i (sin (v_{1}) cos (v_{2}) - cos (v_{1}) sin (v_{2})))

SinSubRev

$sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v) = sin (u - v)$

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot (cos (v_{1} - v_{2}) + i sin (v_{1} - v_{2}))

Nu kan man läsa av det som står framför parentesen som absolutbeloppet för

\frac{z _{1}}{z _{2}},

alltså

\frac{r _{1}}{r _{2}} .

Det som står inne i cos- och sinfunktionerna är sedan argumentet, alltså

v_{1} - v_{2} .

Q.E.D.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}