Bevis för cosinussatsen

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel

A B C .

I triangeln ritar man ut en höjd,

h,

vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser

x

och

y .

Dessa sidor,

x

och

y,

kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus.

cos (A) = \frac{x}{b} \Rightarrow x = b cos (A) cos (B) = \frac{y}{a} \Rightarrow y = a cos (B)

Man kan sedan ersätta

x

och

y

med dessa uttryck.

Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer:

b^{2} a^{2} = h^{2} + (b cos (A))^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2} .

Eftersom

h^{2}

finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.

{b^{2} = h^{2} + (b cos (A))^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2} (I) (II)

$(I):$ $VL - (b cos (A))^{2} = HL - (b cos (A))^{2}$

{b^{2} - (b cos (A))^{2} = h^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2}

$(I):$ Omarrangera ekvation

{h^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2}

$(II):$ $h^{2} = b^{2} - (b c o s (A))^{2}$

{h^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} a^{2} = b^{2} - (b c o s (A))^{2} + (a cos (B))^{2}

Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel

A

försöker man skriva om uttrycket

a cos (B)

så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna

b cos (A)

och

a cos (B)

är lika med

c .

b cos (A) + a cos (B) = c \Leftrightarrow a cos (B) = c - b cos (A)

Till sist ersätter man

a cos (B)

med detta nya uttryck och förenklar sambandet.

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + (a cos (B))^{2}

$a cos (B) = c - b c o s (A)$

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + (c - b c o s (A))^{2}

Utveckla med andra kvadreringsregeln

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + c^{2} - 2 c b cos (A) + (b cos (A))^{2}

Förenkla termer

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)

Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.

Q.E.D.

{{ article.displayTitle }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}