Bevis

Additionsformeln för cosinus

Cosinusvärdet för en summa av vinklar beräknas med hjälp av sinus- och cosinusvärdet för varje vinkel.

cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)
Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan u+vu+v som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.
cos(u+v)\cos(u+v)
cos(u(-v))\cos(u-(\text{-} v))
cos(u)cos(-v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(\text{-} v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden cos(-v)=cos(v)ochsin(-v)=-sin(v). \cos(\text{-} v)=\cos(v)\quad\text{och}\quad\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v).
cos(u)cos(-v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(\text{-} v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
cos(u)cos(v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
cos(u)cos(v)+sin(u)(-sin(v))\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)
cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)\cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)
Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v). \cos(u+v)=\cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v).
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}