Integreringsregler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Det finns flera användbara regler för att skriva om och dela upp integraler. Oftast gäller dessa när det finns något gemensamt mellan integralerna, t.ex. samma integrationsgränser eller samma integrand.
Regel

Addera och subtrahera integraler

När man ska beräkna summan av två integraler med samma integrationsgränser kan man samla funktionsuttrycken inom en enda integral.

abf(x)dx+abg(x)dx=ab(f(x)+g(x))dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) + g(x) \right) \, \text d x

Detta kan visualiseras grafiskt med integralerna av f(x)=1f(x) = 1 och g(x)=x.g(x) = \sqrt{x}. Regeln är dock generell och gäller för alla integrerbara funktioner och gränser.

Integreringsregler5.svg

Motsvarande regel gäller vid subtraktion av integraler med samma integrationsgränser.

abf(x)dxabg(x)dx=ab(f(x)g(x))dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) - g(x) \right) \, \text d x

Dessa två samband kan härledas med integralkalkylens huvudsats.

Härledning

abf(x)dx±abg(x)dx=ab(f(x)±g(x))dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x \pm \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \pm g(x) \right) \, \text d x
För att visa sambandet uttrycker man först vänsterledet med primitiva funktioner. Här visas för addition, men motsvarande resonemang gäller även för subtraktion.
abf(x)dx+abg(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x
[F(x)]ab+[G(x)]ab\left[ F(x) \right]_{a}^{b} + \left[ G(x) \right]_{a}^{b}
[F(x)]ab=F(b)F(a)\left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)
F(b)F(a)+G(b)G(a)F(b) - F(a) + G(b) - G(a)
F(b)+G(b)F(a)G(a)F(b) + G(b) - F(a) - G(a)
-ab=-(a+b)\text{-} a-b=\text{-}(a+b)
F(b)+G(b)(F(a)+G(a))F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))

Det här uttrycket kan man skriva som [F(x)+G(x)]ab. \left[ F(x) + G(x) \right]_{a}^{b}. Nu kan man använda huvudsatsen igen, fast åt andra hållet. Då får man ab(f(x)+g(x))dx. \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) + g(x) \right) \, \text d x .

Q.E.D.
Regel

Integral av en term med koefficient

Om man integrerar en funktion med en koefficient kan denna koefficient flyttas ut ur integralen.

Härledning

abkf(x)dx=kabf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x
Den här regeln visar man genom att skriva integralen som en differens med hjälp av integralkalkylens huvudsats. När man deriverar kf(x)k \cdot f(x) får man kf(x)k \cdot f'(x) och på samma sätt får man kF(x)k \cdot F(x) när man bestämmer den primitiva funktionen till kf(x).k \cdot f(x).
abkf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x
[kF(x)]ab\left[ k \cdot F(x) \right]_{a}^{b}
[G(x)]ab=G(b)G(a)\left[G(x)\right]_{{\color{#009600}{a}}}^{\color{#0000FF}{b}}=G\left({\color{#0000FF}{b}}\right)-G\left({\color{#009600}{a}}\right)
kF(b)kF(a)k \cdot F({\color{#0000FF}{b}}) - k \cdot F({\color{#009600}{a}})
k(F(b)F(a))k \cdot (F(b) - F(a))
Man kan nu skriva faktorn F(b)F(a)F(b) - F(a) som en integral: k(F(b)F(a))=kabf(x)dx. k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x .
Q.E.D.
Uppgift

Visa att följande likhet gäller. ab3dxab6sin2(x)dx=3abcos(2x)dx \displaystyle\int_{a}^{b}3 \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}6\sin^2(x) \, \text d x = 3\displaystyle\int_{a}^{b}\cos(2x) \, \text d x

Lösning
För att visa att vänsterledet faktiskt är samma som högerledet slår vi först ihop integralerna och bryter sedan ut 3.3.
ab3dxab6sin2(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}3 \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}6\sin^2(x) \, \text d x
Slå ihop integraler
ab(36sin2(x))dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(3 - 6\sin^2(x) \right) \, \text d x
ab3(12sin2(x))dx\displaystyle\int_{a}^{b}3\left( 1 - 2\sin^2(x) \right) \, \text d x
abkf(x) dx=kabf(x) dx \displaystyle \int_a^b k\cdot f(x) \ \text d x = k\cdot \int_a^b f(x) \ \text d x
3ab(12sin2(x))dx3\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - 2\sin^2(x) \right) \, \text d x
Vi kan nu skriva om integranden med cosinus för dubbla vinkeln, vilket ger den sökta integralen.
3ab(12sin2(x))dx3\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - 2\sin^2(x) \right) \, \text d x
12sin2(v)=cos(2v)1- 2\sin^2(v) = \cos(2v)
3abcos(2x)dx3\displaystyle\int_{a}^{b}\cos(2x) \, \text d x
Vi har nu visat att likheten stämmer.
Q.E.D.
Visa lösning Visa lösning
Regel

Dela upp integrationsgränser

Ibland kan det vara bekvämt att dela upp en integral i flera delintervall och beräkna dessa separat. För att bestämma värdet av den ursprungliga integralen adderar man då bara integralerna för delintervallen.

acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x

Man kan visa detta med hjälp av integralkalkylens huvudsats.

Härledning

acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x
För att visa likheten börjar man med att skriva om integralerna i högerledet som differenser av primitiva funktioner. Förenklar man uttrycket blir det bara två termer kvar.
abf(x)dx+bcf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x
[F(x)]ab+[F(x)]bc\left[ F(x) \right]_a^b + \left[ F(x) \right]_b^c
[F(x)]ab=F(b)F(a)\left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)
F(b)F(a)+F(c)F(b)F(b) - F(a) + F(c) - F(b)
F(b)F(b)+F(c)F(a)F(b) - F(b) + F(c) - F(a)
F(c)F(a)F(c) - F(a)
När man nu går tillbaka till en integral går gränserna över hela intervallet. F(c)F(b)=acf(x)dx F(c) - F(b) = \displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x Summan av integralerna över delintervallen är alltså lika med integralen över hela intervallet.
Q.E.D.
Regel

Byta plats på integrationsgränser

Om man byter plats på integrationsgränserna för en integral blir värdet samma, fast negativt.

abf(x)dx=-baf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x = \text{-} \displaystyle\int_{b}^{a}f(x) \, \text d x

Den undre gränsen kan alltså vara större än den övre.

Härledning

abf(x)dx=-baf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x = \text{-} \displaystyle\int_{b}^{a}f(x) \, \text d x
Genom att använda integralkalkylens huvudsats kan man skriva om integralen som en differens mellan primitiva funktioner. Bryter man ut ett minustecken ur detta uttryck får man en ny differens där termerna har bytt plats.
abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x
[F(x)]ab\left[ F(x) \right]_a^b
[F(x)]ab=F(b)F(a)\left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)
F(b)F(a)F(b) - F(a)
-(F(a)F(b))\text{-} \left( F(a) - F(b) \right)

Det som står innanför parentesen kan nu skrivas som en integral igen. -(F(a)F(b))=-baf(x)dx \text{-} \left( F(a) - F(b) \right) = \text{-}\displaystyle\int_{b}^{a}f(x) \, \text d x Integrationsgränserna har nu bytt plats och samtidigt har ett minustecken dykt upp.

Q.E.D.
Uppgift

Skriv om uttrycket så att det bara består av en integral. ab(1x2)dx+cb(x21)dx \displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{c}^{b}\left(x^2 - 1 \right) \, \text d x

Lösning
Eftersom integralerna varken har samma integrand eller samma integrationsgränser kan vi inte lägga ihop dem som de är. Vi ser dock att integrationsgränsen bb är gemensam. Om vi vänder på gränserna för den andra integralen kommer den då att börja där den första slutar.
ab(1x2)dx+cb(x21)dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{c}^{b}\left(x^2 - 1 \right) \, \text d x
abf(x) dx=-baf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text{d}x = \text{-} \int_b^a f(x) \ \text{d}x
ab(1x2)dx+(-bc(x21)dx)\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x +\left(\text{-}\displaystyle\int_{b}^{c}\left(x^2 - 1 \right) \, \text d x \right)
Om vi nu multiplicerar in minustecknet i den andra integralen får den samma integrand som den första integralen.
ab(1x2)dx+(-bc(x21)dx)\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x +\left(\text{-}\displaystyle\int_{b}^{c}\left(x^2 - 1 \right) \, \text d x \right)
-abf(x) dx=ab-f(x)dx \displaystyle \text{-} \int_a^b f(x) \ \text d x = \int_a^b \text{-} f(x) \, \text d x
ab(1x2)dx+bc-(x21)dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}\text{-}\left(x^2 - 1\right) \, \text d x
ab(1x2)dx+bc(1x2)dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x
Nu står det samma sak innanför båda integralerna och den första slutar där den andra börjar. Det betyder att vi kan skriva dem som en enda integral över hela intervallet.
ab(1x2)dx+bc(1x2)dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x
Slå ihop integraler
ac(1x2)dx\displaystyle\int_{a}^{c}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}