Icke-linjära funktioner

Potensfunktioner har alltid det okända i basen, dvs. skrivs på formen $y=C \cdot x^{a}.$ Den första funktionen har det okända i exponenten, och är därför inte en potensfunktion. Andra funktionen är en potensfunktion eftersom den innehåller en term som är en potens med okänd bas. Den tredje funktionen ser kanske inte ut som en potensfunktion, men eftersom kvadratroten ur är samma sak som upphöjt till en halv kan vi skriva om den till $y=x^{1/2},$ och därför är även den en potensfunktion. Även den sista funktionen kan skrivas om med potenslagen $\frac{1}{a^b}=a^{\text{-} b}$ till $y=x^{\text{-} 3}.$ Alltså är alla utom den första potensfunktioner.

En exponentialfunktion kan skrivas på formen $y=C \cdot a^x,$ där $C$ är startvärdet och $a$ är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. $C=1250.$ Detta ger $y=1250 \cdot a^x.$ En minskning på $11.5 \, \%$ innebär att det varje år finns kvar $100-11.5=88.5 \, \%$ av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså $a=0.885$ vilket ger oss funktionen $y=1250 \cdot 0.885^x,$ där $y$ är antal tofspingviner $x$ år efter idag.

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion: $y=C \cdot a^t.$ När funktionen står på den här formen är $C$ startvärdet. I vår funktion är $C=1200,$ så det fanns $1200$ bakterier från början.

Vi löser ekvationen grafiskt genom att låta ekvationens vänster- och högerled utgöra varsin funktion, dvs. $y = 2.5 \quad \text{och} \quad y = 4^x.$ Vi ritar dessa funktioner i ett koordinatsystem, enklast med ett digitalt verktyg t.ex. en grafritande räknare. Vi läser av $x$-koordinaten där graferna skär, vilket kallas för grafisk lösning. Ofta har räknare verktyg för detta.

Vi ser att de skär i $x \approx 0.66,$ som är lösningen till ekvationen. Vi kan kontrollera svaret genom att slå in $4^{0.66}$ på räknaren, vilket ger ca $2.5198$.