Icke-linjära funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Potensfunktion

Om funktionsuttrycket för en funktion innehåller en potens på formen xax^a säger man att det är en potensfunktion. Ett generellt sätt att ange en potensfunktion är med en koefficient CC framför potensen.

y=Cxay = C\cdot x^a

För potensfunktioner står variabeln xx i potensens bas. Om den istället står i exponenten får man en exponentialfunktion.
Uppgift

Vilka av dessa funktioner är potensfunktioner?

  • y=15xy=15^x
  • y=x2y=x^2
  • y=xy=\sqrt{x}
  • y=1x3y=\dfrac{1}{x^3}
Lösning

Potensfunktioner har alltid det okända i basen, dvs. skrivs på formen y=Cxa.y=C \cdot x^{a}. Den första funktionen har det okända i exponenten, och är därför inte en potensfunktion. Andra funktionen är en potensfunktion eftersom den innehåller en term som är en potens med okänd bas. Den tredje funktionen ser kanske inte ut som en potensfunktion, men eftersom kvadratroten ur är samma sak som upphöjt till en halv kan vi skriva om den till y=x1/2, y=x^{1/2}, och därför är även den en potensfunktion. Även den sista funktionen kan skrivas om med potenslagen 1ab=a-b\frac{1}{a^b}=a^{\text{-} b} till y=x-3. y=x^{\text{-} 3}. Alltså är alla utom den första potensfunktioner.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentialfunktion

Funktioner som innehåller uttryck på formen axa^x, alltså där variabeln xx finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.

y=Caxy=C \cdot a^x

Koefficienten CC anger det yy-värde där funktionens graf skär yy-axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen aa i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.

Villkor

C0C \neq 0

Koefficienten CC får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med y=0y=0, vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras axa^x med 00 blir ju produkten 00 oavsett potensens värde.

Villkor

a>0a \gt 0 och a1a \neq 1

Konstanten aa får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa xx-värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt aa till x=12x=\frac{1}{2}, eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur aa, vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret a0. a \geq 0. Vidare ger a=0a=0 och a=1a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0a=0 är funktionen alltid lika med 0, vilket ger en vågrät linje vid y=0y=0, och när a=1a=1 får man en vågrät linje längs med startvärdet CC eftersom 1x=11^x = 1, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren a0ocha1. a \neq 0 \enspace \text{och} \enspace a \neq 1. Dessa villkor kan sammanfattas som a>0a \gt 0 och a1.a \neq 1.


Uppgift

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y,y, kommer att minska, och låt xx vara antal år efter idag.

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=Cax, y=C \cdot a^x, där CC är startvärdet och aa är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1250.C=1250. Detta ger y=1250ax. y=1250 \cdot a^x. En minskning på 11.5%11.5 \, \% innebär att det varje år finns kvar 10011.5=88.5%100-11.5=88.5 \, \% av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0.885a=0.885 vilket ger oss funktionen y=12500.885x, y=1250 \cdot 0.885^x, där yy är antal tofspingviner xx år efter idag.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Funktionen N(t)=12002tN(t)=1200\cdot 2^{t}, beskriver antalet bakterier i en kultur efter tt minuter. Hur många fanns det från början?

Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion: y=Cat. y=C \cdot a^t. När funktionen står på den här formen är CC startvärdet. I vår funktion är C=1200,C=1200, så det fanns 12001200 bakterier från början.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vi har exponentialfunktionen y=4x.y=4^x. Vi sätter in y=2.5y=2.5 och får då exponentialekvationen 2.5=4x. 2.5=4^x. Lös denna ekvation grafiskt.

Lösning

Vi löser ekvationen grafiskt genom att låta ekvationens vänster- och högerled utgöra varsin funktion, dvs. y=2.5ochy=4x. y = 2.5 \quad \text{och} \quad y = 4^x. Vi ritar dessa funktioner i ett koordinatsystem, enklast med ett digitalt verktyg t.ex. en grafritande räknare. Vi läser av xx-koordinaten där graferna skär, vilket kallas för grafisk lösning. Ofta har räknare verktyg för detta.

Vi ser att de skär i x0.66,x \approx 0.66, som är lösningen till ekvationen. Vi kan kontrollera svaret genom att slå in 40.664^{0.66} på räknaren, vilket ger ca 2.51982.5198.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}