Icke-linjära funktioner

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Potensfunktion

Om funktionsuttrycket för en funktion innehåller en potens på formen $x^{a}$ säger man att det är en potensfunktion. Ett generellt sätt att ange en potensfunktion är med en koefficient C framför potensen.

För potensfunktioner står variabeln x i potensens bas. Om den istället står i exponenten får man en exponentialfunktion.

Vilka är potensfunktioner?

fullscreen

Vilka av dessa funktioner är potensfunktioner?

$y = 1 5^{x}$
y=x2
$y = x$
$y = \frac{1}{x ^{3}}$

Visa Lösning

Potensfunktioner har alltid det okända i basen, dvs. skrivs på formen

y = C \cdot x^{a} .

Den första funktionen har det okända i exponenten, och är därför inte en potensfunktion. Andra funktionen är en potensfunktion eftersom den innehåller en term som är en potens med okänd bas. Den tredje funktionen ser kanske inte ut som en potensfunktion, men eftersom kvadratroten ur är samma sak som upphöjt till en halv kan vi skriva om den till

och därför är även den en potensfunktion. Även den sista funktionen kan skrivas om med potenslagen

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

till

Alltså är alla utom den första potensfunktioner.

Begrepp

Exponentialfunktion

Funktioner som innehåller uttryck på formen $a^{x}$ , alltså där variabeln x finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.

Koefficienten C anger det y-värde där funktionens graf skär y-axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen a i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.

Villkor

C≠0

Koefficienten C får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med y=0, vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras $a^{x}$ med 0 blir ju produkten 0 oavsett potensens värde.

Villkor

a > 0

och a≠1

Konstanten a får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa x-värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt a till

x = \frac{1}{2}

, eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur a, vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret

a≥0.

Vidare ger a=0 och a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0 är funktionen alltid lika med 0, vilket ger en vågrät linje vid y=0, och när a=1 får man en vågrät linje längs med startvärdet C eftersom

1^{x} = 1

, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren

a \neq = 0 och a \neq = 1 .

Dessa villkor kan sammanfattas som

a > 0

och a≠1.

Ställ upp en exponentialfunktion

fullscreen

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y, kommer att minska, och låt x vara antal år efter idag.

Visa Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen

där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1250. Detta ger

En minskning på

11.5 %

innebär att det varje år finns kvar

100 - 11.5 = 88.5 %

av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0.885 vilket ger oss funktionen

där y är antal tofspingviner x år efter idag.

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

fullscreen

Funktionen $N (t) = 1200 \cdot 2^{t}$ , beskriver antalet bakterier i en kultur efter t minuter. Hur många fanns det från början?

Visa Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion:

När funktionen står på den här formen är C startvärdet. I vår funktion är C=1200, så det fanns 1200 bakterier från början.

Lös exponentialekvationen grafiskt

fullscreen

Vi har exponentialfunktionen

y = 4^{x} .

Vi sätter in y=2.5 och får då exponentialekvationen

Lös denna ekvation grafiskt.

Visa Lösning

Vi löser ekvationen grafiskt genom att låta ekvationens vänster- och högerled utgöra varsin funktion, dvs.

y = 2.5 och y = 4^{x} .

Vi ritar dessa funktioner i ett koordinatsystem, enklast med ett digitalt verktyg t.ex. en grafritande räknare. Vi läser av x-koordinaten där graferna skär, vilket kallas för grafisk lösning. Ofta har räknare verktyg för detta.

Vi ser att de skär i $x \approx 0.66,$ som är lösningen till ekvationen. Vi kan kontrollera svaret genom att slå in $4^{0.66}$ på räknaren, vilket ger ca 2.5198.

Icke-linjära funktioner

Mathleaks

Begrepp

Potensfunktion

Exempel

Vilka är potensfunktioner?

Begrepp

Exponentialfunktion

Villkor

Villkor

Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion

Exempel

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

Exempel

Lös exponentialekvationen grafiskt