Icke-linjära funktioner

$f(x)$ är en potensfunktion. Beräkna $f(5)$ om

$f(x) = 3x^2$.

$f(x) = 4\sqrt{x}$.

$f(x) = \dfrac{7}{4x^2}$.

För potensfunktionen $f(x) = C \cdot x^3$ gäller att $f(2) = 2$ och att $C$ är en konstant.

Bestäm konstanten $C.$

Beräkna funktionens värden då $x$ är 0, 1, 2 resp. 3. Sammanställ resultatet i en värdetabell.

Använd värdetabellen för att skissa funktionens graf i ett koordinatsystem.

Graferna till fyra exponentialfunktioner är inritade.

Identifiera vilken av graferna som hör till funktionen och läs av funktionsvärdet för $x= 3.$

$y = 400 \cdot {0.8}^x$

$y = 200 \cdot {0.7}^x$

$y = 400 \cdot {1.1}^x$

Du investerar i en fond i början av år 2016. Du skapar också en modell som visar hur du förväntar dig att din investering kommer öka i värde: $y = 20\,000 \cdot {1.02}^{x},$ där $y$ kr är beloppet i fonden och $x$ är antal år efter 2016.

Vad betyder 20 000 i modellen?

Vad betyder 1.02 i modellen?

Hur tolkar du att $y \approx 23\,000$ då $x = 7?$

En elev i ettan på naturprogrammet har precis köpt en ny dator som hon ska använda under sin skoltid. Hon funderar över hur mycket datorn kommer att vara värd då hon tar studenten. Hennes kompisar ställer upp funktionerna $f(x), \, g(x)$ och $h(x)$ som de anser beskriver värdet på datorn i kronor $x$ år efter inköp. $\begin{aligned} f(x)&=4999\cdot 1.08^x \\ g(x)&=49 \cdot 0.8^x \\ h(x)&=4999 \cdot 0.81^x \end{aligned}$

Bara en av funktionerna är en rimlig uppskattning av värdeutvecklingen. Vilken?

Använd den mest rimliga modellen för att beräkna det uppskattade värdet då eleven (förhoppningsvis) tar studenten om 3 år.

Förklara varför de andra funktionerna inte är rimliga.

Adam köper en begagnad moped. Formeln $y =10\,000\cdot0.8^x$ beskriver mopedens värde $y$ kronor $x$ år senare. Hur stor är värdeminskningen i procent per år?

Folkmängden i en stad är 500 000 personer. Skapa en modell i form av en exponentialfunktion som anger folkmängden $y$ miljoner efter $t$ år om folkmängden

ökar med 3 procent per år.

minskar med 0.3 procent per år.

I koordinatsystemet finns graferna till följande potensfunktioner: $y = x^2, \quad y = x^{\text{-}2} \quad \text{och} \quad y = \sqrt{x}$ Vilken graf hör till vilken funktion? Lös uppgiften utan räknare.

En exponentialfunktion $f(x) = C \cdot a^x$ har de två kända funktionsvärdena $f(0) = 100$ och $f(8) = 50$. Bestäm konstanterna $C$ och $a$.

En bil är värd $200\,000$ kronor. Tre år senare är den värd $69\,000$ kronor. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver bilens värde efter $x$ år om den procentuella värdeförändringen är samma varje år.

För fem år sedan var du på en konsert med en musikgrupp du gillar. Du köpte då en av deras CD-skivor för 100 kr som alla gruppmedlemmar signerat. Sedan dess har musikgruppen slagit igenom stort och exakt fem år efter konserten säljer du den signerade CD-skivan på auktion för 1200 kr.

Beräkna den genomsnittliga prisökningen i procent per år. Avrunda svaret till hela procent.

Skissa CD-skivans prisutveckling de senaste fem åren för hand i ett koordinatsystem. Antag att den procentuella prisökningen var lika stor varje år.

Sarah köper en begagnad bil för 100 000 kr. Värdet på bilen kommer att sjunka. I diagrammet visas hur värdet förändras om det sjunker med $10\, \%$ respektive $15\, \%$ per år.

Vilket är värdet efter tre år om den procentuella sänkningen är $10 \, \%$ per år?

Hur mycket längre tid krävs för att halvera värdet när den procentuella sänkningen är $10\, \%$ i stället för $15\, \%$ per år? Motivera din lösning i diagrammet och rutan.

Det är nyår och Ove lovar att gå ner $25\, \%$ av sin nuvarande vikt inom $1$ år. Ove är ambitiös och planerar att gå ner $5 \, \%$ av det han väger i början av varje månad tills han nått målet. Första månaden går Ove ner $5 \, \%.$ Tyvärr är han inte lika viljestark nästa månad och går då upp $3 \, \%.$

Hur mycket har Ove gått ner efter ett år om han fortsätter jojobanta på det här viset?

När når Ove sitt mål?

Man vet att en exponentialfunktion $f(x)$ har de två funktionsvärdena $f(2) = 180$ och $f(4) = 1620$. Bestäm funktionsuttrycket för $f(x)$.

Isotopen radon-$222$ sönderfaller snabbt. Sönderfallet beskrivs av exponentialfunktionen $y = N_0 \cdot {0.834}^{t},$ där $y$ är mängden radon-$222$ i $\mu$mol, $N_0$ är mängden radon från början och $t$ är tiden räknat i dygn.

Med hur många procent har mängden radon minskat efter ett dygn?

Hur lång tid tar det för mängden radon att halveras?

En exponentialfunktion beskriver antalet bakterier i en bakterieodling. Funktionen kan skrivas som $y(t) = y_0 \cdot a^t,$ där $y(t)$ anger antalet bakterier efter $t$ timmar, $y_0$ är antalet bakterier från början och $a$ är funktionens förändringsfaktor.

Efter fem timmar har antalet bakterier fyrdubblats. Hur stor är den genomsnittliga tillväxttakten per timme för bakterieodlingen i procent?

Med denna takt, om odlingen endast innehåller en bakterie från början, ungefär hur många dygn tar det innan det finns en miljon bakterier?