{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Funktioner

Välj kurs
( Matte 1b , Matte 1c )
Funktioner
Icke-linjära funktioner

Icke-linjära funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Potensfunktion

Om funktionsuttrycket för en funktion innehåller en potens på formen xax^a säger man att det är en potensfunktion. Ett generellt sätt att ange en potensfunktion är med en koefficient CC framför potensen.

y=C⋅xay = C\cdot x^a

För potensfunktioner står variabeln xx i potensens bas. Om den istället står i exponenten får man en exponentialfunktion.
Uppgift

Vilka av dessa funktioner är potensfunktioner?

  • y=15xy=15^x
  • y=x2y=x^2
  • y=xy=\sqrt{x}
  • y=1x3y=\dfrac{1}{x^3}
Lösning

Potensfunktioner har alltid det okända i basen, dvs. skrivs på formen y=C⋅xa.y=C \cdot x^{a}. Den första funktionen har det okända i exponenten, och är därför inte en potensfunktion. Andra funktionen är en potensfunktion eftersom den innehåller en term som är en potens med okänd bas. Den tredje funktionen ser kanske inte ut som en potensfunktion, men eftersom kvadratroten ur är samma sak som upphöjt till en halv kan vi skriva om den till y=x1/2, y=x^{1/2}, och därför är även den en potensfunktion. Även den sista funktionen kan skrivas om med potenslagen 1ab=a-b\frac{1}{a^b}=a^{\text{-} b} till y=x-3. y=x^{\text{-} 3}. Alltså är alla utom den första potensfunktioner.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentialfunktion

Funktioner som innehåller uttryck på formen axa^x, alltså där variabeln xx finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.

y=C⋅axy=C \cdot a^x

Koefficienten CC anger det yy-värde där funktionens graf skär yy-axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen aa i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.

Villkor
C≠0C \neq 0

Koefficienten CC får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med y=0y=0, vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras axa^x med 00 blir ju produkten 00 oavsett potensens värde.

Villkor
a>0a \gt 0 och a≠1a \neq 1

Konstanten aa får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa xx-värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt aa till x=12x=\frac{1}{2}, eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur aa, vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret a≥0. a \geq 0. Vidare ger a=0a=0 och a=1a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0a=0 är funktionen alltid lika med 0, vilket ger en vågrät linje vid y=0y=0, och när a=1a=1 får man en vågrät linje längs med startvärdet CC eftersom 1x=11^x = 1, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren a≠0ocha≠1. a \neq 0 \enspace \text{och} \enspace a \neq 1. Dessa villkor kan sammanfattas som a>0a \gt 0 och a≠1.a \neq 1.


Uppgift

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y,y, kommer att minska, och låt xx vara antal år efter idag.

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C⋅ax, y=C \cdot a^x, där CC är startvärdet och aa är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1250.C=1250. Detta ger y=1250⋅ax. y=1250 \cdot a^x. En minskning på 11.5%11.5 \, \% innebär att det varje år finns kvar 100−11.5=88.5%100-11.5=88.5 \, \% av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0.885a=0.885 vilket ger oss funktionen y=1250⋅0.885x, y=1250 \cdot 0.885^x, där yy är antal tofspingviner xx år efter idag.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Funktionen N(t)=1200⋅2tN(t)=1200\cdot 2^{t}, beskriver antalet bakterier i en kultur efter tt minuter. Hur många fanns det från början?

Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion: y=C⋅at. y=C \cdot a^t. När funktionen står på den här formen är CC startvärdet. I vår funktion är C=1200,C=1200, så det fanns 12001200 bakterier från början.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vi har exponentialfunktionen y=4x.y=4^x. Vi sätter in y=2.5y=2.5 och får då exponentialekvationen 2.5=4x. 2.5=4^x. Lös denna ekvation grafiskt.

Lösning

Vi löser ekvationen grafiskt genom att låta ekvationens vänster- och högerled utgöra varsin funktion, dvs. y=2.5ochy=4x. y = 2.5 \quad \text{och} \quad y = 4^x. Vi ritar dessa funktioner i ett koordinatsystem, enklast med ett digitalt verktyg t.ex. en grafritande räknare. Vi läser av xx-koordinaten där graferna skär, vilket kallas för grafisk lösning. Ofta har räknare verktyg för detta.

Vi ser att de skär i x≈0.66,x \approx 0.66, som är lösningen till ekvationen. Vi kan kontrollera svaret genom att slå in 40.664^{0.66} på räknaren, vilket ger ca 2.51982.5198.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

f(x)f(x) är en potensfunktion. Beräkna f(5)f(5) om


a

f(x)=3x2f(x) = 3x^2.

b

f(x)=4xf(x) = 4\sqrt{x}.

c

f(x)=74x2f(x) = \dfrac{7}{4x^2}.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För potensfunktionen f(x)=C⋅x3 f(x) = C \cdot x^3 gäller att f(2)=2f(2) = 2 och att CC är en konstant.


a

Bestäm konstanten C.C.

b

Beräkna funktionens värden då xx är 0, 1, 2 resp. 3. Sammanställ resultatet i en värdetabell.

c

Använd värdetabellen för att skissa funktionens graf i ett koordinatsystem.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna till fyra exponentialfunktioner är inritade.

Identifiera vilken av graferna som hör till funktionen och läs av funktionsvärdet för x=3.x= 3.

a

y=400⋅0.8xy = 400 \cdot {0.8}^x

b

y=200⋅0.7xy = 200 \cdot {0.7}^x

c

y=400⋅1.1xy = 400 \cdot {1.1}^x

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du investerar i en fond i början av år 2016. Du skapar också en modell som visar hur du förväntar dig att din investering kommer öka i värde: y=20000⋅1.02x, y = 20\,000 \cdot {1.02}^{x}, där yy kr är beloppet i fonden och xx är antal år efter 2016.


a

Vad betyder 20 000 i modellen?

b

Vad betyder 1.02 i modellen?

c

Hur tolkar du att y≈23000y \approx 23\,000 då x=7?x = 7?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En elev i ettan på naturprogrammet har precis köpt en ny dator som hon ska använda under sin skoltid. Hon funderar över hur mycket datorn kommer att vara värd då hon tar studenten. Hennes kompisar ställer upp funktionerna f(x),g(x)f(x), \, g(x) och h(x)h(x) som de anser beskriver värdet på datorn i kronor xx år efter inköp. f(x)=4999⋅1.08xg(x)=49⋅0.8xh(x)=4999⋅0.81x\begin{aligned} f(x)&=4999\cdot 1.08^x \\ g(x)&=49 \cdot 0.8^x \\ h(x)&=4999 \cdot 0.81^x \end{aligned}

a

Bara en av funktionerna är en rimlig uppskattning av värdeutvecklingen. Vilken?

b

Använd den mest rimliga modellen för att beräkna det uppskattade värdet då eleven (förhoppningsvis) tar studenten om 3 år.

c

Förklara varför de andra funktionerna inte är rimliga.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Adam köper en begagnad moped. Formeln y=10000⋅0.8xy =10\,000\cdot0.8^x beskriver mopedens värde yy kronor xx år senare. Hur stor är värdeminskningen i procent per år?

Nationella provet VT12 1a/1b/1c
 Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Folkmängden i en stad är 500 000 personer. Skapa en modell i form av en exponentialfunktion som anger folkmängden yy miljoner efter tt år om folkmängden


a

ökar med 3 procent per år.

b

minskar med 0.3 procent per år.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet finns graferna till följande potensfunktioner: y=x2,y=x-2ochy=x y = x^2, \quad y = x^{\text{-}2} \quad \text{och} \quad y = \sqrt{x} Vilken graf hör till vilken funktion? Lös uppgiften utan räknare.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En exponentialfunktion f(x)=C⋅ax f(x) = C \cdot a^x har de två kända funktionsvärdena f(0)=100f(0) = 100 och f(8)=50f(8) = 50. Bestäm konstanterna CC och aa.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En bil är värd 200000200\,000 kronor. Tre år senare är den värd 6900069\,000 kronor. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver bilens värde efter xx år om den procentuella värdeförändringen är samma varje år.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För fem år sedan var du på en konsert med en musikgrupp du gillar. Du köpte då en av deras CD-skivor för 100 kr som alla gruppmedlemmar signerat. Sedan dess har musikgruppen slagit igenom stort och exakt fem år efter konserten säljer du den signerade CD-skivan på auktion för 1200 kr.


a

Beräkna den genomsnittliga prisökningen i procent per år. Avrunda svaret till hela procent.

b

Skissa CD-skivans prisutveckling de senaste fem åren för hand i ett koordinatsystem. Antag att den procentuella prisökningen var lika stor varje år.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sarah köper en begagnad bil för 100 000 kr. Värdet på bilen kommer att sjunka. I diagrammet visas hur värdet förändras om det sjunker med 10%10\, \% respektive 15%15\, \% per år.


a

Vilket är värdet efter tre år om den procentuella sänkningen är 10%10 \, \% per år?

b

Hur mycket längre tid krävs för att halvera värdet när den procentuella sänkningen är 10%10\, \% i stället för 15%15\, \% per år? Motivera din lösning i diagrammet och rutan.

Nationella provet VT10 MaA
 Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det är nyår och Ove lovar att gå ner 25%25\, \% av sin nuvarande vikt inom 11 år. Ove är ambitiös och planerar att gå ner 5%5 \, \% av det han väger i början av varje månad tills han nått målet. Första månaden går Ove ner 5%.5 \, \%. Tyvärr är han inte lika viljestark nästa månad och går då upp 3%.3 \, \%.


a

Hur mycket har Ove gått ner efter ett år om han fortsätter jojobanta på det här viset?

b

När når Ove sitt mål?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man vet att en exponentialfunktion f(x)f(x) har de två funktionsvärdena f(2)=180f(2) = 180 och f(4)=1620f(4) = 1620. Bestäm funktionsuttrycket för f(x)f(x).

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Isotopen radon-222222 sönderfaller snabbt. Sönderfallet beskrivs av exponentialfunktionen y=N0⋅0.834t, y = N_0 \cdot {0.834}^{t}, där yy är mängden radon-222222 i μ\mumol, N0N_0 är mängden radon från början och tt är tiden räknat i dygn.

a

Med hur många procent har mängden radon minskat efter ett dygn?

b

Hur lång tid tar det för mängden radon att halveras?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En exponentialfunktion beskriver antalet bakterier i en bakterieodling. Funktionen kan skrivas som y(t)=y0⋅at, y(t) = y_0 \cdot a^t, där y(t)y(t) anger antalet bakterier efter tt timmar, y0y_0 är antalet bakterier från början och aa är funktionens förändringsfaktor.

a

Efter fem timmar har antalet bakterier fyrdubblats. Hur stor är den genomsnittliga tillväxttakten per timme för bakterieodlingen i procent?

b

Med denna takt, om odlingen endast innehåller en bakterie från början, ungefär hur många dygn tar det innan det finns en miljon bakterier?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}